Статически неопределимый брус

1. 1

   Ось отсчёта и степень неопределимости

   Начало отсчёта — верхняя заделка, ось z направлена вниз. Реакции обозначим по заделкам: верхнюю и нижнюю.

   Неизвестных две, уравнение равновесия одно — система один раз статически неопределима. Значит нужно ровно одно дополнительное уравнение, и брать его придётся из деформаций.

   $$\sum F_z = 0: \quad R_{\text{в}} + R_{\text{н}} = F$$
   $$R_{\text{в}} + R_{\text{н}} = 90$$

   Одно уравнение с двумя неизвестными. Пока оно только связывает реакции, но не определяет их.

2. 2

   Уравнение совместности деформаций

   Обе заделки неподвижны, значит расстояние между ними не меняется: суммарное изменение длины бруса равно нулю. Верхний участок растянется, нижний ровно настолько же сожмётся.

   Это и есть недостающее уравнение. В нём появляются жёсткости — поэтому реакции в неопределимой системе и зависят от площадей, чего никогда не бывает в определимой.

   $$\Delta l_1 + \Delta l_2 = 0: \qquad \frac{R_{\text{в}} L_1}{E A_1} - \frac{R_{\text{н}} L_2}{E A_2} = 0$$
   $$\frac{R_{\text{в}} \cdot 1{,}0}{200000 \cdot 500} = \frac{R_{\text{н}} \cdot 1{,}2}{200000 \cdot 300}$$

   Второе уравнение получено. Модуль упругости в него входит с обеих сторон и сокращается — для однородного бруса материал на распределение усилий не влияет.

3. 3

   Податливости участков

   Отношение L/(EA) удобно назвать податливостью участка: это перемещение, которое даёт единичная сила. Через них уравнение совместности читается почти без выкладок.

   Податливость нижней ступени 20,000 мкм/кН — вдвое больше верхней 10,000 мкм/кН: она и длиннее, и тоньше. Значит нижняя ступень податливее, и на неё придётся меньшая доля силы.

   $$\lambda_i = \frac{L_i}{E A_i}$$
   $$\lambda_1 = 10{,}000\ \text{мкм/кН}; \qquad \lambda_2 = 20{,}000\ \text{мкм/кН}$$
   Податливость верхней

   10,000 мкм/кН

   Податливость нижней

   20,000 мкм/кН

   Податливости относятся как один к двум — этим отношением всё и решится.

4. 4

   Реакции заделок

   Решаем систему из двух уравнений. Результат легко запомнить: сила распределяется между участками ОБРАТНО пропорционально их податливостям, то есть прямо пропорционально жёсткостям.

   Более жёсткий участок берёт на себя больше. Это общий закон неопределимых систем, и он же объясняет, почему усиление одного элемента может перегрузить именно его, а не разгрузить.

   $$R_{\text{в}} = F\,\frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}, \qquad R_{\text{н}} = F\,\frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}$$
   $$R_{\text{в}} = 60{,}0\ \text{кН}; \qquad R_{\text{н}} = 30{,}0\ \text{кН}$$
   Верхняя реакция

   60,0 кН

   Нижняя реакция

   30,0 кН

   60,0 кН и 30,0 кН — ровно в отношении два к одному, как и податливости, только наоборот. Сумма даёт 90 кН, равновесие сходится.

5. 5

   Эпюры и проверка прочности

   Дальше задача становится обычной: реакции известны, эпюры строятся методом сечений. Верхний участок растянут, нижний сжат — сила в стыке растягивает то, что над ней, и сжимает то, что под ней.

   Напряжения считаем каждое по своей площади. Опасен верхний участок, хотя площадь у него больше: сила там вдвое выше.

   $$N_1 = R_{\text{в}}, \quad N_2 = -R_{\text{н}}; \qquad \sigma_i = \frac{N_i}{A_i}$$
   $$\sigma_1 = \frac{60{,}0}{500} = 120{,}0\ \text{МПа}; \qquad \sigma_2 = \frac{-30{,}0}{300} = -100{,}0\ \text{МПа}$$
   σ верхней ступени

   120,0 МПа

   σ нижней ступени

   −100,0 МПа

   Запас

   25,0 %

   120,0 МПа на растянутой ступени и −100,0 МПа на сжатой при допускаемом 160 МПа — прочность обеспечена с запасом 25,0 %.

6. 6

   Контроль по перемещениям

   Уравнение совместности мы использовали при решении, поэтому его же и проверим на готовых числах. Перемещение стыка считаем дважды: сверху и снизу.

   Если сойдётся — решение верно почти наверняка. Не сойдётся — ошибка в реакциях, и искать её надо там.

   $$\delta_{\text{стыка}} = \frac{R_{\text{в}} L_1}{E A_1}; \qquad \delta_{\text{низ}} = \delta_{\text{стыка}} + \Delta l_2 = 0$$
   $$\delta_{\text{стыка}} = 0{,}600\ \text{мм}; \qquad \Delta l_2 = -0{,}600\ \text{мм}; \qquad \delta_{\text{низ}} = 0{,}000\ \text{мм}$$
   Перемещение стыка

   0,600 мм

   Перемещение нижней заделки

   0,000 мм

   Стык сместился вниз на 0,600 мм, нижний участок укоротился ровно на столько же — −0,600 мм. Перемещение нижней заделки 0,000 мм, как и требовалось.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Растяжение-сжатие», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Александров А. В. Сопротивление материалов, §2.9.

• Делят силу между заделками поровну

  Пополам было бы верно только при одинаковых податливостях. Здесь они относятся как один к двум, и реакции вышли 60,0 кН и 30,0 кН.

• Считают, что более податливый участок берёт большую долю

  Наоборот: нагрузка идёт туда, где жёстче. Нижняя ступень податливее вдвое — и получает вдвое меньшую реакцию.

• Пишут уравнение совместности как равенство удлинений

  Равна нулю их СУММА, а не разность и не сами удлинения по отдельности. Один участок растягивается, другой сжимается: 0,600 мм и −0,600 мм равны по модулю и противоположны по знаку.

• Забывают проверить, что перемещение второй заделки нулевое

  Это бесплатная проверка всего решения. 0,000 мм — значит реакции найдены верно.