Модуль упругости: что это и как им пользоваться
Модуль упругости E, или модуль Юнга, — коэффициент в законе Гука: во сколько раз напряжение больше вызванной им относительной деформации. Он показывает жёсткость материала, а не прочность. У всех сталей E почти одинаков — около двухсот тысяч мегапаскалей.
Две детали одних размеров под одной нагрузкой деформируются по-разному, если сделаны из разных материалов. Алюминиевая удлинится примерно втрое больше стальной — и именно это различие описывает модуль упругости.
В расчётах E стоит везде, где есть перемещения: удлинение бруса, прогиб балки, угол поворота сечения, критическая сила устойчивости.
Закон Гука
На упругом участке диаграммы растяжения напряжение пропорционально деформации. Коэффициент пропорциональности и есть модуль упругости — наклон начального прямолинейного участка диаграммы.
Относительная деформация безразмерна, поэтому E измеряется в тех же единицах, что напряжение: в мегапаскалях или гигапаскалях.
Жёсткость — это не прочность
Модуль упругости отвечает на вопрос «насколько деформируется», а не «когда разрушится». Обычная углеродистая сталь и высокопрочная легированная имеют почти один и тот же E, хотя предел текучести у второй в несколько раз выше.
Отсюда практический вывод: если деталь не проходит по жёсткости — слишком велик прогиб, — более прочная марка стали не поможет. Помогает только сечение с большим моментом инерции.
Жёсткость сечения: EA и EI
Материал задаёт E, геометрия — площадь A или момент инерции I. Их произведение называют жёсткостью: EA — при растяжении и сжатии, EI — при изгибе. Именно жёсткость стоит в знаменателе всех формул перемещений.
Вдвое большая жёсткость — вдвое меньшее удлинение или прогиб при той же нагрузке. Поэтому ступенчатый брус удлиняется больше всего на тонком участке.
Сравнение материалов
Если принять модуль стали за единицу: у меди он примерно вдвое меньше, у алюминиевых сплавов — втрое, у бетона — в шесть-восемь раз, у древесины вдоль волокон — примерно в двадцать раз. Чугун мягче стали, и его модуль сильно зависит от марки.
Для стали в учебных задачах берут 2·10⁵ мегапаскалей, если в условии не задано иное.
На числах
Стальной брус с модулем 200000 МПа: жёсткость верхнего участка 120000 кН, нижнего — 60000 кН, и полное удлинение складывается из удлинений участков: 2,2083 мм.
Где обычно ошибаются
Путают модуль упругости с пределом прочности
Оба в мегапаскалях, но смысл разный: E описывает деформацию, предел прочности — разрушение. У стали модуль в сотни раз больше предела прочности.
Теряют порядок при переводе единиц
Если сила в килоньютонах, площадь в квадратных миллиметрах, а E в мегапаскалях, удлинение получится в тысячу раз меньше верного. Надёжнее всё перевести в Н и мм: тогда E в МПа, и Δl выходит в мм.
Ждут, что прочная сталь прогнётся меньше
Прогиб определяет жёсткость EI, а E у сталей почти одинаков. Меньший прогиб даёт только другое сечение.
Частые вопросы
Какой модуль упругости у стали?
Около 2·10⁵ мегапаскалей, или 200 гигапаскалей, — практически у всех марок, от обычной углеродистой до легированной.
Чем модуль упругости отличается от модуля сдвига?
E связывает нормальное напряжение с линейной деформацией, G — касательное напряжение с углом сдвига. Для изотропного материала G = E / (2(1 + ν)), у стали он примерно в два с половиной раза меньше E.
Коэффициент Пуассона →Где на диаграмме растяжения модуль упругости?
Это наклон начального прямолинейного участка — до предела пропорциональности. Дальше закон Гука перестаёт работать.
Диаграмма растяжения →