Удлинение бруса

1. 1

   Откуда считаем

   Начало отсчёта — заделка наверху, ось z направлена вниз вдоль бруса. Перемещение сечения будем накапливать от неё, потому что именно там оно заведомо нулевое.

   Реакция заделки уравновешивает всю нагрузку: равнодействующую распределённой части и силу на торце.

   $$R = -\left(q L_1 + F\right)$$
   $$R = -\left(20 \cdot 2{,}0 + 45\right) = -85{,}0\ \text{кН}$$
   Реакция заделки

   −85,0 кН

   Реакция −85,0 кН, продольная сила у самой заделки 85,0 кН.

2. 2

   Продольная сила по участкам

   На верхнем участке распределённая нагрузка постепенно «сбрасывает» часть силы: чем ниже сечение, тем меньше веса висит под заделкой. Поэтому N убывает линейно от 85,0 кН до 45,0 кН.

   На нижнем участке нагрузки нет, сила постоянна и равна 45,0 кН — той самой, что приложена к торцу.

   $$N(z) = q\left(L_1 - z\right) + F \quad \text{на верхнем участке}$$
   $$N(0) = 85{,}0\ \text{кН}; \qquad N(L_1) = 45{,}0\ \text{кН}; \qquad N_2 = 45{,}0\ \text{кН}$$
   N у заделки

   85,0 кН

   N на стыке

   45,0 кН

   Эпюра N: наклонная прямая от 85,0 кН до 45,0 кН, затем горизонталь 45,0 кН.

3. 3

   Удлинение верхнего участка: интеграл вместо произведения

   Сила по длине меняется, поэтому Δl = NL/(EA) в лоб не подставишь. Интеграл от линейной функции равен её среднему значению на длину — это площадь трапеции под эпюрой N.

   Среднее между 85,0 кН и 45,0 кН даёт 65,0 кН. Дальше обычная формула, только с этим средним вместо постоянной силы.

   $$\Delta l_1 = \int_0^{L_1} \frac{N(z)\,dz}{E A_1} = \frac{N_{\text{ср}} L_1}{E A_1}$$
   $$\Delta l_1 = \frac{65{,}0 \cdot 2{,}0}{200000 \cdot 600} = 1{,}0833\ \text{мм}$$
   Средняя сила

   65,0 кН

   Δl верхнего участка

   1,0833 мм

   Верхний участок удлинился на 1,0833 мм.

4. 4

   Удлинение нижнего участка

   Здесь всё просто: сила постоянна, сечение постоянно, работает классическая формула без всяких оговорок.

   Площадь нижнего участка вдвое меньше верхней, поэтому при вдвое меньшей силе он удлиняется почти так же — при том что и короче.

   $$\Delta l_2 = \frac{N_2 L_2}{E A_2}$$
   $$\Delta l_2 = \frac{45{,}0 \cdot 1{,}5}{200000 \cdot 300} = 1{,}1250\ \text{мм}$$
   Δl нижнего участка

   1,1250 мм

   1,1250 мм — чуть больше, чем у верхнего участка, хотя он и короче, и нагружен слабее. Всё дело в жёсткости: 60000 кН против 120000 кН.

5. 5

   Полное удлинение и проверка прочности

   Складываем вклады участков. Оба положительные — брус растянут по всей длине, ничего взаимно не гасится.

   Раз уж эпюра N построена, проверим заодно и прочность. Наибольшее напряжение вовсе не у заделки, где сила максимальна: на нижнем участке площадь вдвое меньше.

   $$\Delta l = \sum \Delta l_i; \qquad \sigma_{max} = \max_i \frac{\left|N_i\right|}{A_i}$$
   $$\Delta l = 1{,}0833\ \text{мм} + 1{,}1250\ \text{мм} = 2{,}2083\ \text{мм}; \qquad \sigma_{max} = 150{,}0\ \text{МПа}$$
   Полное удлинение

   2,2083 мм

   Наибольшее напряжение

   150,0 МПа

   Нижний торец опустился на 2,2083 мм. Наибольшее напряжение 150,0 МПа на нижнем участке — против 141,7 МПа у заделки — при допускаемом 160 МПа.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Растяжение-сжатие», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §2.3.

• Берут на верхнем участке силу у заделки

  85,0 кН действует только в одном сечении. Подстановка её в формулу дала бы удлинение вместо 1,0833 мм почти в полтора раза больше: сила по участку убывает до 45,0 кН.

• Путают модуль упругости с допускаемым напряжением

  200000 МПа и 160 МПа отличаются больше чем на три порядка, но оба измеряются в мегапаскалях, и подстановка не той величины проходит проверку размерности. Ловится только здравым смыслом: удлинение в метрах у стального бруса не бывает.

• Считают жёсткостью один только модуль упругости

  Жёсткость сечения при растяжении — это произведение EA, здесь 120000 кН и 60000 кН. Именно она стоит в знаменателе, а не E само по себе.

• Ищут наибольшее напряжение там же, где наибольшая сила

  Сила максимальна у заделки, а напряжение — 150,0 МПа — на нижнем участке, где площадь вдвое меньше. Сравнивать надо отношения, а не силы.

• Переводят метры в миллиметры не везде

  Модуль упругости в МПа означает, что длины должны быть в миллиметрах, а силы в ньютонах. Один незамеченный метр — и ответ уезжает в тысячу раз.