Подбор площади сечения бруса

1. 1

   Продольные силы

   Ось z направлена вниз от заделки, начало отсчёта в ней же. Эпюра продольной силы не зависит от площадей, поэтому строится до всякого подбора — это и делает задачу решаемой.

   Верхний участок сжат равнодействующей обеих сил, нижний растянут только нижней силой.

   $$N_1 = -F_1 + F_2, \qquad N_2 = F_2$$
   $$N_1 = -90{,}0\ \text{кН}; \qquad N_2 = 60{,}0\ \text{кН}$$
   N верхнего участка

   −90,0 кН

   N нижнего участка

   60,0 кН

   На верхнем участке −90,0 кН — сжатие, на нижнем 60,0 кН — растяжение. Сжимающая сила больше по модулю в полтора раза.

2. 2

   Требуемая площадь верхнего участка

   Условие прочности разворачиваем относительно площади: она должна быть не меньше отношения силы к допускаемому напряжению. Для сжатого участка берём допускаемое напряжение на сжатие.

   Заметьте, что знак силы в подстановку не идёт — берём модуль. Знак нужен был только для того, чтобы выбрать, какое из двух допускаемых напряжений подставлять.

   $$A_1 \ge \frac{\left|N_1\right|}{[\sigma]_{\text{сж}}}$$
   $$A_1 \ge \frac{150}{120} = 1250\ \text{мм²}$$
   A₁ по сжатию

   1250 мм²

   Из условия сжатия верхнему участку хватило бы 1250 мм².

3. 3

   Требуемая площадь нижнего участка

   Та же формула, но допускаемое напряжение теперь на растяжение — втрое меньшее. Сила при этом меньше всего в полтора раза, и результат перевешивает.

   Вот и ответ на вопрос из вводки: решает не сила сама по себе, а отношение силы к тому, что материал в этом виде нагружения выдерживает.

   $$A_2 \ge \frac{N_2}{[\sigma]_{\text{р}}}$$
   $$A_2 \ge \frac{60}{40} = 1500\ \text{мм²}$$
   A₂ по растяжению

   1500 мм²

   Растянутому участку нужно 1500 мм² — больше, чем сжатому, при меньшей силе.

4. 4

   Согласование с заданным отношением площадей

   Ступени не подбираются независимо: по условию верхняя вдвое больше нижней. Значит подбирать надо один общий множитель, при котором оба условия выполнятся сразу.

   Множитель определяет тот участок, у которого требование строже относительно исходной пропорции. Здесь это нижний, растянутый.

   $$A_1 : A_2 = 2 : 1; \qquad k = \max_i \frac{A_i^{\text{треб}}}{A_i^{\text{исх}}}$$
   $$k = 15{,}000; \qquad A_1 = 3000\ \text{мм²}; \qquad A_2 = 1500\ \text{мм²}$$
   Площадь верхней ступени

   3000 мм²

   Площадь нижней ступени

   1500 мм²

   Принимаем 3000 мм² и 1500 мм². Пропорция сохранена, оба условия выполняются.

5. 5

   Проверка принятых размеров

   Подбор без обратной проверки — половина работы: округления и согласование пропорций могли что-нибудь испортить. Считаем напряжения при принятых площадях и сравниваем с нормами.

   Полезно посмотреть и на недогруз: он показывает, сколько металла ушло на соблюдение пропорции.

   $$\sigma_i = \frac{N_i}{A_i} \le [\sigma]$$
   $$\sigma_1 = -50{,}0\ \text{МПа}\ \text{при}\ [\sigma]_{\text{сж}} = 120; \qquad \sigma_2 = 40{,}0\ \text{МПа}\ \text{при}\ [\sigma]_{\text{р}} = 40$$
   σ верхнего участка

   −50,0 МПа

   σ нижнего участка

   40,0 МПа

   Растянутый участок нагружен ровно до предела: 40,0 МПа при норме 40 МПа. Сжатый недогружен более чем вдвое — −50,0 МПа против 120 МПа. Такова цена заданной пропорции.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Растяжение-сжатие», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Александров А. В. Сопротивление материалов, §2.6.

• Подставляют одно [σ] на оба участка

  Для чугуна это грубая ошибка: 40 МПа и 120 МПа различаются втрое. Взяв всюду сжимающее значение, получили бы растянутый участок втрое тоньше нужного.

• Подбирают участки независимо друг от друга

  Отношение площадей задано конструкцией. Взяв 1250 мм² и 1500 мм² как есть, получили бы пропорцию меньше единицы вместо заданных 2.

• Округляют требуемую площадь вниз

  Условие прочности одностороннее: A должна быть НЕ МЕНЬШЕ требуемой. Округление вниз, даже на процент, выводит напряжение за норму.

• Решают, что опасен участок с большей силой

  Сжимающая 150 кН больше растягивающей 60 кН, но размер продиктовала именно растянутая ступень. Сравнивать надо отношения N к своему допускаемому напряжению.