Ступенчатый брус: эпюры N, σ и δ

1. 1

   Ось z и реакция в заделке

   Начало отсчёта — заделка, ось z идёт от неё вниз вдоль бруса. Все положения сил ниже указаны от заделки, и обозначение z до конца разбора не меняется.

   Реакция находится из проекции всех сил на ось бруса. Строго говоря, для эпюры N её можно и не искать — если идти от свободного конца. Но найти полезно: она даст независимую проверку в конце.

   $$\sum F_z = 0: \quad R + F_1 + F_2 + F_3 = 0$$
   $$R = -\left(80 + -50 + 30\right) = -60{,}0\ \text{кН}$$
   Реакция заделки

   −60,0 кН

   Реакция −60,0 кН. Знак минус означает, что заделка тянет брус вверх — как и должно быть при преобладании тянущих вниз сил.

2. 2

   Эпюра продольной силы

   Продольная сила в сечении равна алгебраической сумме внешних сил по одну сторону от него. Растяжение считаем положительным — правило универсальное и от выбора отбрасываемой части не зависит.

   Между силами N постоянна, в точке приложения силы прыгает на её величину. Площади ступеней на эту эпюру не влияют вовсе: равновесие не знает, из чего сделан брус.

   $$N(z) = \sum F_i^{\,\text{выше сечения}}$$
   $$N_1 = 60{,}0\ \text{кН}; \qquad N_2 = -20{,}0\ \text{кН}; \qquad N_3 = 30{,}0\ \text{кН}$$
   N на ступени 1

   60,0 кН

   N на ступени 2

   −20,0 кН

   N на ступени 3

   30,0 кН

   60,0 кН, −20,0 кН и 30,0 кН. Первая ступень растянута, вторая сжата, третья снова растянута — знак меняется дважды.

3. 3

   Эпюра нормальных напряжений

   Делим силу участка на площадь того же участка. Здесь площади разные, поэтому эпюра σ повторяет форму эпюры N только по знаку, но не по величине ступенек.

   Обратите внимание на вторую и третью ступени: сила по модулю меньше на третьей, а напряжение больше — площадь падает быстрее силы.

   $$\sigma_i = \frac{N_i}{A_i}$$
   $$\sigma_1 = \frac{60{,}0}{400} = 150{,}0\ \text{МПа}; \quad \sigma_2 = -25{,}0\ \text{МПа}; \quad \sigma_3 = 50{,}0\ \text{МПа}$$
   σ на ступени 1

   150,0 МПа

   σ на ступени 2

   −25,0 МПа

   σ на ступени 3

   50,0 МПа

   150,0 МПа, −25,0 МПа и 50,0 МПа. Опасный участок — 1: там 150,0 МПа при допускаемом 160 МПа, запас 6,2 %.

4. 4

   Удлинения участков

   Каждый участок деформируется по закону Гука независимо от остальных: удлинение равно силе на длину, делённой на жёсткость сечения EA. Знак наследуется от силы — сжатый участок укорачивается.

   Это ещё не перемещения, а именно изменения длин отдельных ступеней. Складывать их в перемещение будем на следующем шаге.

   $$\Delta l_i = \frac{N_i L_i}{E A_i}$$
   $$\Delta l_1 = 0{,}750\ \text{мм}; \qquad \Delta l_2 = -0{,}150\ \text{мм}; \qquad \Delta l_3 = 0{,}200\ \text{мм}$$
   Δl ступени 1

   0,750 мм

   Δl ступени 2

   −0,150 мм

   Δl ступени 3

   0,200 мм

   0,750 мм, −0,150 мм и 0,200 мм. Вторая ступень укоротилась — на эпюре δ она пойдёт вниз.

5. 5

   Эпюра перемещений

   Перемещение сечения — это сумма удлинений всех участков между ним и заделкой. В заделке оно нулевое по определению, дальше накапливается нарастающим итогом.

   На эпюре это ломаная: на каждом участке прямая с наклоном, равным погонной деформации, а в границах — излом, потому что меняется либо сила, либо площадь.

   $$\delta(z) = \sum_{\text{выше } z} \Delta l_i$$
   $$\delta_1 = 0{,}750\ \text{мм}; \quad \delta_2 = 0{,}750\ \text{мм} + -0{,}150\ \text{мм} = 0{,}600\ \text{мм}; \quad \delta_3 = 0{,}800\ \text{мм}$$
   δ после ступени 1

   0,750 мм

   δ после ступени 2

   0,600 мм

   δ свободного конца

   0,800 мм

   Свободный конец опустился на 0,800 мм. Промежуточные сечения сместились на 0,750 мм и 0,600 мм — заметьте, что второе меньше первого: сжатый участок частично отыграл перемещение обратно.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Растяжение-сжатие», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §2.2.

• Строят эпюру σ, механически поделив всю эпюру N на одну площадь

  У каждой ступени своя площадь. Поделив всё на 400 мм², получили бы на второй ступени вдвое завышенное напряжение вместо −25,0 МПа.

• Складывают удлинения по модулю

  −0,150 мм отрицательно: участок сжат и укоротился. Сумма модулей дала бы перемещение больше 0,800 мм — то есть ответ, в котором сжатие удлиняет брус.

• Ставят на эпюре перемещений скачок

  Разрывов у δ не бывает: брус сплошной. Скачки бывают у N и σ, а δ только ломается. Скачок на эпюре — верный признак потерянного участка.

• Забывают, что перемещение отсчитывается от заделки

  δ в заделке ровно ноль, и накапливать надо оттуда. Если начать суммировать от свободного конца, все значения сместятся на 0,800 мм.