Формулы сопромата — шпаргалка — Решатор по сопромату

Балка: эпюры Q и M

Уравнения равновесия: $\sum F_z = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M_O = 0$
Равнодействующая распределённой нагрузки: $R_q = \frac{q_a + q_b}{2}\,(b - a), \qquad z_c = a + (b - a)\,\frac{q_a + 2q_b}{3\,(q_a + q_b)}$
Проверка реакций независимым уравнением: $\sum M_B = 0$
Метод сечений: внутренние силовые факторы: $Q(z) = \sum F_y^{\,\text{слева}}, \qquad M(z) = \sum F_y\,(z - a) + \int q(\xi)\,(z - \xi)\,d\xi - \sum M_{\text{внеш}}$
Экстремум изгибающего момента: $\frac{dM}{dz} = Q = 0 \;\Rightarrow\; M = \text{extr}$
Дифференциальные зависимости: $\frac{dQ}{dz} = q, \qquad \frac{dM}{dz} = Q$

Отношение диаметров: $\alpha = \frac{d}{D}$
Площадь: $F = \frac{\pi D^2}{4}\left(1 - \alpha^2\right)$
Центр тяжести: $y_c = z_c = \frac{D}{2}$
Осевые моменты инерции: $I_y = I_z = \frac{\pi D^4}{64}\left(1 - \alpha^4\right), \quad I_{yz} = 0$
Полярный момент инерции: $I_\rho = \frac{\pi D^4}{32}\left(1 - \alpha^4\right)$
Осевые моменты сопротивления: $W_y = W_z = \frac{\pi D^3}{32}\left(1 - \alpha^4\right)$
Полярный момент сопротивления: $W_\rho = \frac{\pi D^3}{16}\left(1 - \alpha^4\right)$
Радиусы инерции: $i_y = i_z = \frac{1}{4}\sqrt{D^2 + d^2}$

Площадь: $F = b \cdot h$
Центр тяжести: $y_c = \frac{b}{2}, \quad z_c = \frac{h}{2}$
Осевые моменты инерции: $I_y = \frac{b h^3}{12}, \quad I_z = \frac{h b^3}{12}, \quad I_{yz} = 0$
Полярный момент инерции: $I_\rho = I_y + I_z = \frac{b h}{12}\left(b^2 + h^2\right)$
Осевые моменты сопротивления: $W_y = \frac{b h^2}{6}, \quad W_z = \frac{h b^2}{6}$
Радиусы инерции: $i_y = \frac{h}{\sqrt{12}} \approx 0{,}289\,h, \quad i_z = \frac{b}{\sqrt{12}} \approx 0{,}289\,b$

Площадь: $F = \sum F_i$
Статические моменты: $S_{y} = \sum F_i \cdot z_i, \quad S_{z} = \sum F_i \cdot y_i$
Центр тяжести: $y_c = \frac{S_{z}}{F}, \quad z_c = \frac{S_{y}}{F}$
Моменты инерции (теорема Штейнера): $I_{y} = \sum \left(I_{y_i} + a_i^2 F_i\right), \quad I_{z} = \sum \left(I_{z_i} + b_i^2 F_i\right)$
Центробежный момент инерции: $I_{yz} = \sum \left(I_{yz_i} + a_i b_i F_i\right)$
Поворот элемента вокруг своего центра тяжести: $I_{y}(\varphi) = \frac{I_{y}+I_{z}}{2} + \frac{I_{y}-I_{z}}{2}\cos 2\varphi + I_{yz}\sin 2\varphi, \quad I_{yz}(\varphi) = -\frac{I_{y}-I_{z}}{2}\sin 2\varphi + I_{yz}\cos 2\varphi$
Угол наклона главных осей: $\operatorname{tg} 2\alpha = -\frac{2 I_{yz}}{I_{y} - I_{z}}$
Главные моменты инерции: $I_{max,min} = \frac{I_{y}+I_{z}}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{\left(I_{y}-I_{z}\right)^2 + 4 I_{yz}^2}$
Моменты инерции в главных осях: $I_{U} = I_{y}\cos^2\alpha + I_{z}\sin^2\alpha - I_{yz}\sin 2\alpha, \quad I_{V} = I_{y}\sin^2\alpha + I_{z}\cos^2\alpha + I_{yz}\sin 2\alpha$
Моменты сопротивления: $W_{U} = \frac{I_{U}}{|V|_{max}}, \quad W_{V} = \frac{I_{V}}{|U|_{max}}$
Радиусы инерции: $i_{U} = \sqrt{\frac{I_{U}}{F}}, \quad i_{V} = \sqrt{\frac{I_{V}}{F}}$