Формулы сопромата

Весь курс на одной странице — ровно те формулы, по которым сайт считает разборы: от растяжения до теорий прочности.

Растяжение и сжатие

Посчитать
Продольная сила в сечении
N(z)=∑Fi+∫q dz(по одну сторону от сечения)N(z) = \sum F_i + \int q\,dz \quad \text{(по одну сторону от сечения)}
Нормальные напряжения
σi=NiAi\sigma_i = \frac{N_i}{A_i}
Удлинение участка
ΔLi=Ni liEiAi(на участке с постоянной N)\Delta L_i = \frac{N_i\,l_i}{E_i A_i}\quad\text{(на участке с постоянной }N\text{)}
Условие прочности
σmaxр≤[σ]р,∣σmaxс∣≤[σ]с\sigma_{max}^{р} \le [\sigma]_р,\qquad \left|\sigma_{max}^{с}\right| \le [\sigma]_с
Энергия деформации
U=∑i∫N22EiAi dzU = \sum_i \int \frac{N^2}{2 E_i A_i}\,dz

Кручение вала

Посчитать
Реакция заделки
∑Mz=0:MA+∑Ti+∑∫m dz=0\sum M_z = 0:\quad M_A + \sum T_i + \sum \int m\,dz = 0
Касательные напряжения
τi=Mк,iWp,i\tau_i = \frac{M_{к,i}}{W_{p,i}}
Погонный угол закручивания
θi=Mк,iG Jp,i\theta_i = \frac{M_{к,i}}{G\,J_{p,i}}
Угол поворота сечения
φi=φi−1+∫0liθi dz,φ=0 в заделке\varphi_i = \varphi_{i-1} + \int_0^{l_i} \theta_i\,dz,\qquad \varphi = 0\ \text{в заделке}

Круг

Посчитать
Площадь
F=πd24F = \frac{\pi d^2}{4}
Центр тяжести
yc=zc=d2y_c = z_c = \frac{d}{2}
Осевые моменты инерции
Iy=Iz=πd464,Iyz=0I_y = I_z = \frac{\pi d^4}{64}, \quad I_{yz} = 0
Полярный момент инерции
Iρ=Iy+Iz=πd432I_\rho = I_y + I_z = \frac{\pi d^4}{32}
Осевые моменты сопротивления
Wy=Wz=πd332W_y = W_z = \frac{\pi d^3}{32}
Полярный момент сопротивления
Wρ=πd316W_\rho = \frac{\pi d^3}{16}
Радиусы инерции
iy=iz=IyF=d4i_y = i_z = \sqrt{\frac{I_y}{F}} = \frac{d}{4}

Кольцо

Посчитать
Отношение диаметров
α=dD\alpha = \frac{d}{D}
Площадь
F=πD24(1−α2)F = \frac{\pi D^2}{4}\left(1 - \alpha^2\right)
Центр тяжести
yc=zc=D2y_c = z_c = \frac{D}{2}
Осевые моменты инерции
Iy=Iz=πD464(1−α4),Iyz=0I_y = I_z = \frac{\pi D^4}{64}\left(1 - \alpha^4\right), \quad I_{yz} = 0
Полярный момент инерции
Iρ=πD432(1−α4)I_\rho = \frac{\pi D^4}{32}\left(1 - \alpha^4\right)
Осевые моменты сопротивления
Wy=Wz=πD332(1−α4)W_y = W_z = \frac{\pi D^3}{32}\left(1 - \alpha^4\right)
Полярный момент сопротивления
Wρ=πD316(1−α4)W_\rho = \frac{\pi D^3}{16}\left(1 - \alpha^4\right)
Радиусы инерции
iy=iz=14D2+d2i_y = i_z = \frac{1}{4}\sqrt{D^2 + d^2}

Прямоугольник

Посчитать
Площадь
F=b⋅hF = b \cdot h
Центр тяжести
yc=b2,zc=h2y_c = \frac{b}{2}, \quad z_c = \frac{h}{2}
Осевые моменты инерции
Iy=bh312,Iz=hb312,Iyz=0I_y = \frac{b h^3}{12}, \quad I_z = \frac{h b^3}{12}, \quad I_{yz} = 0
Полярный момент инерции
Iρ=Iy+Iz=bh12(b2+h2)I_\rho = I_y + I_z = \frac{b h}{12}\left(b^2 + h^2\right)
Осевые моменты сопротивления
Wy=bh26,Wz=hb26W_y = \frac{b h^2}{6}, \quad W_z = \frac{h b^2}{6}
Радиусы инерции
iy=h12≈0,289 h,iz=b12≈0,289 bi_y = \frac{h}{\sqrt{12}} \approx 0{,}289\,h, \quad i_z = \frac{b}{\sqrt{12}} \approx 0{,}289\,b

Квадрат

Посчитать
Площадь
F=a2F = a^2
Центр тяжести
yc=zc=a2y_c = z_c = \frac{a}{2}
Осевые моменты инерции
Iy=Iz=a412,Iyz=0I_y = I_z = \frac{a^4}{12}, \quad I_{yz} = 0
Полярный момент инерции
Iρ=Iy+Iz=a46I_\rho = I_y + I_z = \frac{a^4}{6}
Осевые моменты сопротивления
Wy=Wz=a36W_y = W_z = \frac{a^3}{6}
Радиусы инерции
iy=iz=a12≈0,289 ai_y = i_z = \frac{a}{\sqrt{12}} \approx 0{,}289\,a

Составные сечения — расчёт геометрических характеристик

Посчитать
Площадь
F=∑FiF = \sum F_i
Статические моменты
Sy=∑Fi⋅zi,Sz=∑Fi⋅yiS_{y} = \sum F_i \cdot z_i, \quad S_{z} = \sum F_i \cdot y_i
Центр тяжести
yc=SzF,zc=SyFy_c = \frac{S_{z}}{F}, \quad z_c = \frac{S_{y}}{F}
Моменты инерции (теорема Штейнера)
Iy=∑(Iyi+ai2Fi),Iz=∑(Izi+bi2Fi)I_{y} = \sum \left(I_{y_i} + a_i^2 F_i\right), \quad I_{z} = \sum \left(I_{z_i} + b_i^2 F_i\right)
Центробежный момент инерции
Iyz=∑(Iyzi+aibiFi)I_{yz} = \sum \left(I_{yz_i} + a_i b_i F_i\right)
Поворот элемента вокруг своего центра тяжести
Iy(φ)=Iy+Iz2+Iy−Iz2cos⁡2φ+Iyzsin⁡2φ,Iyz(φ)=−Iy−Iz2sin⁡2φ+Iyzcos⁡2φI_{y}(\varphi) = \frac{I_{y}+I_{z}}{2} + \frac{I_{y}-I_{z}}{2}\cos 2\varphi + I_{yz}\sin 2\varphi, \quad I_{yz}(\varphi) = -\frac{I_{y}-I_{z}}{2}\sin 2\varphi + I_{yz}\cos 2\varphi
Угол наклона главных осей
tg⁡2α=−2IyzIy−Iz\operatorname{tg} 2\alpha = -\frac{2 I_{yz}}{I_{y} - I_{z}}
Главные моменты инерции
Imax,min=Iy+Iz2±12(Iy−Iz)2+4Iyz2I_{max,min} = \frac{I_{y}+I_{z}}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{\left(I_{y}-I_{z}\right)^2 + 4 I_{yz}^2}
Моменты инерции в главных осях
IU=Iycos⁡2α+Izsin⁡2α−Iyzsin⁡2α,IV=Iysin⁡2α+Izcos⁡2α+Iyzsin⁡2αI_{U} = I_{y}\cos^2\alpha + I_{z}\sin^2\alpha - I_{yz}\sin 2\alpha, \quad I_{V} = I_{y}\sin^2\alpha + I_{z}\cos^2\alpha + I_{yz}\sin 2\alpha
Моменты сопротивления
WU=IU∣V∣max,WV=IV∣U∣maxW_{U} = \frac{I_{U}}{|V|_{max}}, \quad W_{V} = \frac{I_{V}}{|U|_{max}}
Радиусы инерции
iU=IUF,iV=IVFi_{U} = \sqrt{\frac{I_{U}}{F}}, \quad i_{V} = \sqrt{\frac{I_{V}}{F}}

Балка: эпюры Q и M

Посчитать
Уравнения равновесия
∑Fz=0,∑Fy=0,∑MO=0\sum F_z = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M_O = 0
Равнодействующая распределённой нагрузки
Rq=qa+qb2 (b−a),zc=a+(b−a) qa+2qb3 (qa+qb)R_q = \frac{q_a + q_b}{2}\,(b - a), \qquad z_c = a + (b - a)\,\frac{q_a + 2q_b}{3\,(q_a + q_b)}
Проверка реакций независимым уравнением
∑MB=0\sum M_B = 0
Метод сечений: внутренние силовые факторы
Q(z)=∑Fy слева,M(z)=∑Fy (z−a)+∫q(ξ) (z−ξ) dξ−∑MвнешQ(z) = \sum F_y^{\,\text{слева}}, \qquad M(z) = \sum F_y\,(z - a) + \int q(\xi)\,(z - \xi)\,d\xi - \sum M_{\text{внеш}}
Экстремум изгибающего момента
dMdz=Q=0  ⇒  M=extr\frac{dM}{dz} = Q = 0 \;\Rightarrow\; M = \text{extr}
Дифференциальные зависимости
dQdz=q,dMdz=Q\frac{dQ}{dz} = q, \qquad \frac{dM}{dz} = Q

Рама: эпюры N, Q и M

Посчитать
Уравнения равновесия
∑Fx=0,∑Fy=0,∑MO=0\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M_O = 0
Внутренние усилия в сечении
N(z)=−∑(F⃗⋅e⃗z),Q(z)=∑(F⃗⋅e⃗y),M(z)=∑Mсеч ↷N(z) = -\sum \left(\vec{F}\cdot \vec{e}_z\right), \qquad Q(z) = \sum \left(\vec{F}\cdot \vec{e}_y\right), \qquad M(z) = \sum M^{\,\curvearrowright}_{\text{сеч}}
Проверка равновесия узлов
∑Fx узел=0,∑Fy узел=0,∑M узел=0\sum F_x^{\,\text{узел}} = 0, \quad \sum F_y^{\,\text{узел}} = 0, \quad \sum M^{\,\text{узел}} = 0
Дифференциальные зависимости
dQdz=qy,dMdz=Q\frac{dQ}{dz} = q_y, \qquad \frac{dM}{dz} = Q

Плоская ферма

Посчитать
Длина стержня
l=Δx2+Δy2l = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}
Опорные реакции
∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0
Вырезание узла
∑Fx=0,∑Fy=0\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0

Метод сил

Посчитать
Степень статической неопределимости
s=R−3s = R - 3
Каноническое уравнение
δ11 X1+Δ1P=0\delta_{11}\,X_1 + \Delta_{1P} = 0
Лишнее неизвестное
X1=−Δ1Pδ11X_1 = -\frac{\Delta_{1P}}{\delta_{11}}
Интеграл Мора
Δ=∑i∫M MˉEJ dz\Delta = \sum_i \int \frac{M\,\bar{M}}{EJ}\,dz
Правило Верещагина
Δ=∑iωi Mˉ(zc,i)EJi\Delta = \sum_i \frac{\omega_i\,\bar{M}(z_{c,i})}{EJ_i}
Формула Симпсона
Δ=∑ili6 EJi(Miл Mˉiл+4 Miс Mˉiс+Miп Mˉiп)\Delta = \sum_i \frac{l_i}{6\,EJ_i}\left(M_i^{\text{л}}\,\bar{M}_i^{\text{л}} + 4\,M_i^{\text{с}}\,\bar{M}_i^{\text{с}} + M_i^{\text{п}}\,\bar{M}_i^{\text{п}}\right)
Итоговые эпюры
M=MP+Mˉ1 X1,Q=QP+Qˉ1 X1,N=NP+Nˉ1 X1M = M_P + \bar{M}_1\,X_1, \quad Q = Q_P + \bar{Q}_1\,X_1, \quad N = N_P + \bar{N}_1\,X_1
Деформационная проверка
∑i∫M Mˉ1EJ dz=0\sum_i \int \frac{M\,\bar{M}_1}{EJ}\,dz = 0

Устойчивость сжатого стержня

Посчитать
Радиус инерции сечения
imin=IminAi_{min} = \sqrt{\frac{I_{min}}{A}}
Гибкость стержня
λ=μ limin\lambda = \frac{\mu\, l}{i_{min}}
Предельная гибкость
λпред=πEσпц,λ0=a−σтb\lambda_{пред} = \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{пц}}}, \quad \lambda_0 = \frac{a - \sigma_т}{b}
Критическая сила (Эйлер)
Fкр=π2EImin(μl)2F_{кр} = \frac{\pi^2 E I_{min}}{(\mu l)^2}
Критическое напряжение (Ясинский)
σкр=a−bλ,Fкр=σкрA\sigma_{кр} = a - b\lambda, \quad F_{кр} = \sigma_{кр} A
Запас устойчивости
nу=FкрFn_у = \frac{F_{кр}}{F}
Допускаемая нагрузка
[F]=Fкрnу[F] = \frac{F_{кр}}{n_у}
Проверка через коэффициент φ
σ=NφA≤Ryγc\sigma = \frac{N}{\varphi A} \le R_y \gamma_c

Главные напряжения и теории прочности

Посчитать
Главные напряжения
σmax,min=σx+σy2±12(σx−σy)2+4τxy2\sigma_{max,min} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}
Положение главных площадок
tg⁡2α0=−2τxyσx−σy\operatorname{tg} 2\alpha_0 = \frac{-2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}
Наибольшие касательные
τmax=σ1−σ32\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}
I теория — нормальных напряжений
σэквI=σ1\sigma_{\text{экв}}^{I} = \sigma_1
II теория — линейных деформаций
σэквII=σ1−ν(σ2+σ3)\sigma_{\text{экв}}^{II} = \sigma_1 - \nu(\sigma_2 + \sigma_3)
III теория — касательных напряжений
σэквIII=σ1−σ3\sigma_{\text{экв}}^{III} = \sigma_1 - \sigma_3
IV теория — энергетическая (Мизес)
σэквIV=12[(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2]\sigma_{\text{экв}}^{IV} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}

Косой изгиб

Посчитать
Момент по главным осям
My=Mcos⁡α,Mz=Msin⁡αM_y = M\cos\alpha, \quad M_z = M\sin\alpha
Нормальное напряжение в точке
σ=MyzJy−MzyJz\sigma = \frac{M_y z}{J_y} - \frac{M_z y}{J_z}
Нейтральная линия
tg⁡β=JzMyJyMz\operatorname{tg}\beta = \frac{J_z M_y}{J_y M_z}

Изгиб с кручением

Посчитать
Моменты сопротивления круглого сечения
W=πD3(1−c4)32,Wp=2WW = \frac{\pi D^3 (1 - c^4)}{32}, \quad W_p = 2W
Напряжения в опасной точке
σ=MW,τ=MкWp\sigma = \frac{M}{W}, \quad \tau = \frac{M_к}{W_p}
Эквивалентный момент (IV теория)
Mэкв=M2+0,75 Mк2M_{экв} = \sqrt{M^2 + 0{,}75\,M_к^2}
Условие прочности
σэкв=MэквW≤[σ]\sigma_{экв} = \frac{M_{экв}}{W} \le [\sigma]