Как найти нейтральную линию при внецентренном сжатии

1. 1

   Оси и характеристики сечения

   Оси берём главные центральные: начало координат в центре тяжести прямоугольника, ось y вдоль ширины, ось z вдоль высоты. У прямоугольника они главные автоматически — обе являются осями симметрии.

   Это не формальность: формула внецентренного нагружения верна только в главных осях. В любых других к ней добавилось бы слагаемое с центробежным моментом инерции.

   $$F = b\,h; \qquad I_u = \frac{b h^{3}}{12}, \quad I_v = \frac{h b^{3}}{12}$$
   $$F = 60000\ \text{мм²}; \qquad I_u = 450000000\ \text{мм⁴}; \qquad I_v = 200000000\ \text{мм⁴}$$
   Площадь

   60000 мм²

   I относительно u

   450000000 мм⁴

   I относительно v

   200000000 мм⁴

   Площадь 60000 мм², моменты инерции 450000000 мм⁴ и 200000000 мм⁴. Квадраты радиусов инерции 7500,0 мм² и 3333,3 мм² понадобятся для нейтральной линии.

2. 2

   Приведение силы к центру тяжести

   Перенос силы в центр тяжести — стандартный приём статики: сила остаётся той же, но добавляется пара, равная произведению силы на перенесённое расстояние.

   Эксцентриситетов два, значит и моментов появляется два — по каждой главной оси. Знаки наследуются от сжимающей силы: она отрицательна в инженерном соглашении, где растяжение положительно.

   $$N = -P; \qquad M_u = N\,e_z, \quad M_v = N\,e_y$$
   $$N = -400{,}0\ \text{кН}; \qquad M_u = -40{,}0\ \text{кН·м}; \qquad M_v = -24{,}0\ \text{кН·м}$$
   Продольная сила

   −400,0 кН

   Момент относительно u

   −40,0 кН·м

   Момент относительно v

   −24,0 кН·м

   Продольная сила −400,0 кН и два изгибающих момента −40,0 кН·м и −24,0 кН·м. Задача свелась к сложению трёх простых нагружений.

3. 3

   Напряжения в углах сечения

   Складываем три слагаемых: равномерное сжатие от продольной силы и два линейно меняющихся поля от изгибающих моментов. Задача линейна, суперпозиция законна.

   Равномерная часть даёт −6,67 МПа по всему сечению. Изгибные слагаемые в разных углах имеют разные знаки, поэтому где-то они складываются со сжатием, а где-то перебивают его.

   $$\sigma = \frac{N}{F} + \frac{M_u\,v}{I_u} + \frac{M_v\,u}{I_v}$$
   $$\sigma_{max}^{\text{сж}} = -32{,}00\ \text{МПа}; \qquad \sigma_{max}^{\text{р}} = 18{,}67\ \text{МПа}$$
   Наибольшее сжатие

   −32,00 МПа

   Наибольшее растяжение

   18,67 МПа

   Наибольшее сжатие −32,00 МПа в углу (100 мм; 150 мм) — том, к которому смещена сила. Наибольшее растяжение 18,67 МПа в противоположном углу (−100 мм; −150 мм). Растяжение при сжимающей силе — не описка, а суть внецентренного нагружения.

4. 4

   Нейтральная линия

   Нейтральная линия — геометрическое место точек с нулевым напряжением, граница между растянутой и сжатой зонами. При внецентренном нагружении она прямая, но, в отличие от чистого изгиба, через центр тяжести НЕ проходит.

   Удобнее всего задавать её отрезками, отсекаемыми на осях. Они выражаются через квадраты радиусов инерции и эксцентриситеты — и заметьте, со знаком минус: линия всегда по другую сторону от центра, чем точка приложения силы.

   $$a_u = -\frac{i_v^{2}}{e_y}, \qquad a_v = -\frac{i_u^{2}}{e_z}$$
   $$a_u = -\frac{3333{,}3}{60} = -55{,}6\ \text{мм}; \qquad a_v = -\frac{7500{,}0}{100} = -75{,}0\ \text{мм}$$
   Отрезок по u

   −55,6 мм

   Отрезок по v

   −75,0 мм

   Линия отсекает −55,6 мм по оси u и −75,0 мм по оси v. Оба отрезка внутри контура — значит нейтральная линия пересекает сечение, и растянутая зона действительно существует.

5. 5

   Проверка прочности

   Проверять надо обе опасные точки, каждую по своему допускаемому напряжению. Материал стойки сопротивляется сжатию впятеро лучше, чем растяжению, и это меняет то, какая точка окажется критической.

   Смотрите, что получилось: по модулю сжатие почти вдвое больше растяжения, а по степени использования нормы всё наоборот.

   $$\sigma^{\text{сж}} \le [\sigma]_{\text{сж}}, \qquad \sigma^{\text{р}} \le [\sigma]_{\text{р}}$$
   $$-32{,}00\ \text{МПа}\ \text{при}\ 100; \qquad 18{,}67\ \text{МПа}\ \text{при}\ 20$$
   [σ] на растяжение

   20 МПа

   [σ] на сжатие

   100 МПа

   Сжатие использует норму примерно на треть, растяжение — почти полностью: 18,67 МПа при допускаемом 20 МПа. Опасна именно растянутая точка.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Растяжение-сжатие», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §7.4.

• Считают, что при сжимающей силе всё сечение сжато

  Пока сила вне ядра — нет. Здесь в противоположном углу возникает растяжение 18,67 МПа, и для хрупкого материала именно оно опасно.

• Проводят нейтральную линию через центр тяжести

  Через центр она проходит только при чистом изгибе, когда продольной силы нет. При внецентренном нагружении линия смещена и отсекает −55,6 мм и −75,0 мм.

• Берут отрезки нейтральной линии со знаком плюс

  Минус в формуле принципиален: нейтральная линия и точка приложения силы всегда по разные стороны от центра тяжести. Потеряв знак, вы поместите растянутую зону туда, где на самом деле сжатие.

• Меняют местами радиусы инерции в формулах отрезков

  Отрезок по оси u выражается через квадрат радиуса относительно оси v — 3333,3 мм² — и эксцентриситет вдоль y. Перекрёстность здесь не опечатка, а следствие того, что момент относительно одной оси создаётся смещением вдоль другой.

• Пропускают одну из двух проверок прочности

  Условий два, и у хрупкого материала критическим оказывается растяжение, хотя по модулю оно меньше: 18,67 МПа при норме 20 МПа против −32,00 МПа при 100 МПа.