Нагретый брус между двумя заделками: какие напряжения появятся

1. 1

   Почему одной статики мало

   Ось z ведём от нижней заделки вверх, как на схеме: z = 0 — нижний торец, z = L — верхний. Реакций две, по одной в каждой заделке, а уравнение проекций одно — брус один раз статически неопределим.

   Нагрузки нет, поэтому равновесие говорит только одно: реакции равны и противоположны. Их величину статика не определит никогда — её задаёт деформация, и за ней придётся идти в геометрию.

   $$\sum F_z = 0: \quad R_{\text{в}} = R_{\text{н}} = R, \qquad N(z) = \text{const}$$
   $$N_1 = N_2 = N$$

   Продольная сила одна на весь брус. Неизвестна только её величина — её и найдём из условия на перемещения.

2. 2

   Свободное температурное удлинение

   Представьте, что верхнюю заделку убрали. Брус удлинился бы на α·ΔT с каждого миллиметра длины — сталь расширяется на 1,25·10⁻⁵ своей длины на каждый градус. От площади это удлинение не зависит: тонкая и толстая ступени растут одинаково.

   Это то удлинение, которое заделка у бруса отнимет. Чем оно больше, тем сильнее сожмут брус: нагрев вдвое — сила вдвое.

   $$\Delta l_t = \alpha\,\Delta T\,L$$
   $$\Delta l_t = 1{,}25\cdot10^{-5} \cdot 40 \cdot 2{,}2\cdot10^{3} = 1{,}10\ \text{мм}$$
   Свободное удлинение

   1,10 мм

   Без верхней заделки брус стал бы длиннее на 1,10 мм. Заделка не даёт — значит, ровно на столько сила N должна его укоротить.

3. 3

   Уравнение совместности и сила N

   Полное изменение длины — температурное плюс упругое от силы — равно нулю: расстояние между заделками не меняется. Упругое удлинение каждой ступени считаем по закону Гука, NL/(EA).

   Удобно записать через податливости ступеней L/(EA): у верхней, тонкой, 20 мкм/кН против 10 мкм/кН у нижней. В сумме 30 мкм/кН: столько микрометров укорочения даёт каждый килоньютон.

   $$\alpha\,\Delta T\,L + N\left(\frac{L_1}{E A_1} + \frac{L_2}{E A_2}\right) = 0 \;\;\Rightarrow\;\; N = -\frac{\alpha\,\Delta T\,L}{\sum L_i/(E A_i)}$$
   $$N = -\frac{1{,}10}{30\cdot10^{-3}} = -36{,}67\ \text{кН}$$
   Продольная сила

   −36,67 кН

   Реакция каждой заделки

   36,67 кН

   Брус сжат силой −36,67 кН, реакции заделок по 36,67 кН. Знак минус — сжатие: нагрев всегда сжимает зажатый брус, охлаждение — растягивает.

4. 4

   Напряжения в ступенях

   Сила одна, площади разные — значит, и напряжения разные. Тонкая ступень при той же силе сжата сильнее, и опасной будет она, а не та, что длиннее.

   Для сравнения ядро посчитало и призматический брус той же длины: у него напряжение 100,0 МПа по модулю — E·α·ΔT, оно не зависит ни от длины, ни от площади. Ступени сдвигают его: толстая разгружается, тонкая догружается.

   $$\sigma_i = \frac{N}{A_i}$$
   $$\sigma_1 = \frac{-36{,}67\cdot10^{3}}{500} = -73{,}3\ \text{МПа}; \qquad \sigma_2 = \frac{-36{,}67\cdot10^{3}}{300} = -122{,}2\ \text{МПа}$$
   σ нижней ступени

   −73,3 МПа

   σ верхней ступени

   −122,2 МПа

   σ призматического бруса

   100,0 МПа

   −73,3 МПа в толстой ступени и −122,2 МПа в тонкой. По модулю наибольшее — 122,2 МПа.

5. 5

   Проверка прочности и перемещения

   Условие прочности обычное: наибольшее по модулю напряжение не выше допускаемого 160 МПа. Запас — 23,6 %. Добавьте ещё десяток градусов в калькуляторе ниже, и запас начнёт быстро таять: σ растёт с нагревом линейно.

   Эпюра δ под разбором показывает упругое перемещение — от силы N, как принято у Лобанова. На верхнем торце оно равно −1,10 мм: ровно столько сила «вернула» температурного удлинения. Полное же перемещение стыка — упругое плюс температурное — 0,133 мм: торцы стоят, а стык между ступенями уезжает вверх: толстая нижняя ступень сжата слабее, и её нагрев победил.

   $$|\sigma|_{\max} \le [\sigma]; \qquad \delta_{\text{стыка}} = \alpha\,\Delta T\,L_1 + \frac{N L_1}{E A_1}$$
   $$122{,}2\ \text{МПа} \le 160\ \text{МПа}; \qquad \delta_{\text{стыка}} = 0{,}50 + (-0{,}367) = 0{,}133\ \text{мм}$$
   Запас

   23,6 %

   Полное перемещение стыка

   0,133 мм

   Прочность обеспечена с запасом 23,6 %. Стык сместился на 0,133 мм, хотя оба торца неподвижны.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Растяжение-сжатие», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Лобанов Е. Н. и др. Сопротивление материалов: расчёт статически неопределимых систем.

• Берут σ = EαΔT для ступенчатого бруса

  Формула верна только для постоянного сечения. Здесь она дала бы 100,0 МПа в обеих ступенях, а на деле −73,3 МПа и −122,2 МПа.

• Ставят знак «плюс»

  Нагрев зажатого бруса даёт сжатие: N = −36,67 кН. Растяжение будет при охлаждении — ΔT со знаком минус.

• Ищут напряжения у бруса на одной заделке

  Одна заделка — брус свободно удлиняется, усилий нет. Температурные напряжения бывают только в статически неопределимых системах.

• Читают эпюру δ как полное перемещение

  Она упругая, от силы N: на верхнем торце −1,10 мм, хотя торец неподвижен. Полное перемещение — с температурной частью.