Температурные напряжения: почему нагретый брус сжат без нагрузки
Температурные напряжения возникают, когда нагретому или охлаждённому элементу не дают свободно изменить длину. Свободный брус при нагреве просто удлиняется на αΔT·L и остаётся ненапряжённым; зажатый между двумя заделками — сжимается. Для бруса постоянного сечения σ = −EαΔT: напряжение не зависит ни от длины, ни от площади.
Летом рельсы без зазоров выгибает, трубы без компенсаторов рвёт на опорах, а бетонная плита без шва трескается — и всё это без единой дополнительной силы. Нагрузку здесь заменяет запрет: материал хочет расшириться, а соседи не пускают.
В курсе сопромата тема появляется вместе со статически неопределимыми системами, и не случайно: только у них есть лишняя связь, которая способна этот запрет поставить.
Свободное температурное удлинение
Каждый материал при нагреве удлиняется пропорционально своей длине и перепаду температур. Коэффициент пропорциональности α — коэффициент линейного расширения; у стали он порядка десяти с небольшим миллионных долей на градус, у алюминия примерно вдвое больше.
Это удлинение чисто геометрическое: от площади и нагрузки оно не зависит. Толстый и тонкий стержень одной длины при одном нагреве удлиняются одинаково.
Когда удлинение превращается в напряжение
В статически определимой системе — нет: брус на одной заделке свободно удлиняется, его конец смещается, усилий нет. Напряжения появляются, только если лишняя связь не даёт деформации состояться.
Тогда работает обычное условие совместности: полное изменение длины — температурное плюс упругое от продольной силы — равно тому, что разрешают связи. Между двумя неподвижными заделками это ноль.
Призматический брус: σ = −EαΔT
Если сечение по длине постоянно, площадь и длина в формуле сокращаются, и остаётся короткое выражение. Знак минус — сжатие при нагреве; при охлаждении ΔT отрицательно, и брус растянут.
Из формулы следует неприятная для конструктора вещь: увеличением сечения температурное напряжение не снизить. Помогает только одно — дать деформации место: компенсатор, температурный шов, зазор, подвижная опора.
Ступенчатый брус: напряжения разные
У ступенчатого бруса сила одна на всю длину, а площади разные — значит, тонкая ступень сжата сильнее толстой. Формула σ = −EαΔT здесь неверна для обеих ступеней: одна получает меньше, другая больше.
Заодно стык ступеней смещается, хотя оба торца неподвижны: толстая ступень сжата слабее, и её температурное удлинение побеждает.
На числах
Ступенчатый стальной брус 500 мм² и 300 мм² в двух заделках нагрет на 40 °C. Внешней силы нет, а продольная сила −36,67 кН; призматический брус той же длины получил бы 100,0 МПа.
Где обычно ошибаются
Ищут температурные напряжения в определимой системе
Брус на одной заделке нагрев только удлиняет. Если в задаче одна заделка и нет других связей, ответ — напряжений нет.
Применяют σ = −EαΔT к ступенчатому брусу
Формула для постоянного сечения. В примере она дала бы 100,0 МПа в обеих ступенях, а на деле −73,3 МПа и −122,2 МПа.
Ставят положительный знак при нагреве
Нагрев зажатого бруса — сжатие, N = −36,67 кН. Растяжение даёт охлаждение.
Усиливают сечение, чтобы снизить напряжение
У призмы площадь сокращается, у ступенчатого бруса утолщение одной ступени перегружает другую. Снижают температурные напряжения податливостью связей, а не площадью.
Частые вопросы
Чему равен коэффициент линейного расширения стали?
Около двенадцати миллионных на градус; в задачниках часто берут округлённо, как в нашем примере. Точное значение зависит от марки и диапазона температур — его дают в условии.
Как посчитать температурные напряжения вместе с нагрузкой?
Сложить: усилия от нагрузки и от нагрева находят по отдельности и суммируют. Калькулятор растяжения делает это сам и показывает обе эпюры и сумму.
Калькулятор растяжения-сжатия →Бывают ли температурные напряжения в балках и рамах?
Да, если система статически неопределима: неразрезная балка при неравномерном нагреве, рама с защемлёнными стойками. Расчёт тот же по смыслу — методом сил, с температурным слагаемым в каноническом уравнении.
Статически неопределимые системы →