Абсолютное и относительное удлинение
Абсолютное удлинение Δl — насколько изменилась длина стержня, в миллиметрах. Относительное ε — то же изменение, делённое на исходную длину: безразмерная величина, иногда в процентах. Для упругого стержня Δl = N·l / (E·A), а ε = σ / E.
Удлинение в миллиметрах само по себе мало что говорит: сантиметр для моста — пустяк, для болта — разрушение. Поэтому у деформации два выражения: абсолютное, для перемещений и зазоров, и относительное, для сравнения и закона Гука.
Путаница начинается, когда к ним добавляется третье — относительное удлинение после разрыва из испытаний материала. Это совсем другая величина, и о ней ниже.
Два способа сказать «удлинился»
Абсолютное удлинение — разность конечной и начальной длины. Положительно при растяжении, отрицательно при сжатии — тогда его называют укорочением.
Относительное удлинение — абсолютное, делённое на исходную длину. Оно не зависит от размеров стержня и потому годится для сравнения материалов и для закона Гука.
Как считать по закону Гука
Для участка с постоянными продольной силой, площадью и материалом удлинение пропорционально силе и длине и обратно пропорционально жёсткости EA.
Если сила вдоль участка меняется — например, от собственного веса, — удлинение считают интегралом или площадью эпюры N, делённой на EA.
Ступенчатый брус: складываем со знаками
Полное удлинение — сумма удлинений всех участков. Растянутый участок даёт плюс, сжатый — минус, и слагаемые могут частично гасить друг друга.
Перемещение любого сечения — сумма удлинений участков между ним и неподвижной опорой. Так строится эпюра перемещений, по которой проверяют жёсткость и зазоры.
Не путать с удлинением после разрыва
Относительное удлинение после разрыва δ — характеристика пластичности из испытания на растяжение: насколько вытянулся образец до разрушения, в процентах. У мягкой стали это десятки процентов, у чугуна — доли процента.
Упругая деформация ε в рабочих конструкциях в тысячи раз меньше: это тысячные доли. Подставлять δ в закон Гука — грубая ошибка.
На числах
Ступенчатый брус из трёх участков: первый удлиняется на 0,750 мм, второй сжат и укорачивается на −0,150 мм, третий удлиняется на 0,200 мм. Перемещение свободного конца — их сумма со знаками: 0,800 мм.
Где обычно ошибаются
Складывают удлинения участков по модулю
Сжатый участок укорачивается. Здесь второй участок даёт −0,150 мм, и без учёта знака перемещение конца вышло бы заметно больше верного 0,800 мм.
Делят на площадь в не тех единицах
Сила в кН, площадь в мм², E в МПа — и ответ ошибочен в тысячу раз. Всё в Н и мм — тогда Δl сразу в мм.
Подставляют удлинение после разрыва в закон Гука
δ из справочника — про пластичность материала, а не про упругую работу. Закон Гука действует только до предела пропорциональности.
Частые вопросы
В чём измеряется относительное удлинение?
Это безразмерная величина — отношение длин. Её пишут десятичной дробью или в процентах; в упругих расчётах удобнее дробь, в испытаниях материалов — проценты.
Как найти абсолютное удлинение стержня?
По закону Гука: продольная сила на длину участка, делённые на произведение модуля упругости на площадь. Для ступенчатого бруса — сумма по участкам со знаками.
Расчёт бруса онлайн →Чем относительное удлинение отличается от деформации?
Ничем: при растяжении это одно и то же — линейная деформация ε. Термин «удлинение» просто подчёркивает, что стержень растянут.