Расчёт фермы онлайн: усилия в стержнях плоской фермы

Число узлов и стержней не ограничено типовыми схемами: считались и фермы на три десятка стержней — рост схемы удлиняет решение, но не меняет метод.

Основной метод — вырезание узлов: обходим узлы в порядке, где неизвестных не больше двух, и в каждом решаем систему проекций. Для контрольных сечений подключается метод Риттера — усилие в конкретном стержне одним уравнением моментов, без обхода всей фермы. Ход решения показывает оба взгляда: и последовательность узлов с уравнениями, и проверку сечением.

Дальше — то, чего в задачниках обычно уже нет, а в РГР требуется: подбор сечений стержней по сортаменту под найденные усилия и перемещение узла по формуле Максвелла–Мора. Прогиб фермы считается честным перемножением единичного и грузового состояний по стержням.

Опоры ставятся шарнирно-подвижные и шарнирно-неподвижные, в любых узлах, включая наклонные опорные плоскости; силы — в узлы, под любым углом.

Стандарт оформления фермы — таблица усилий: номер стержня, усилие со знаком, растяжение или сжатие, для подбора — требуемая площадь и принятый профиль. Результаты расчёта уже сгруппированы в таком виде, остаётся перенести в работу. К таблице прикладывается схема с пронумерованными стержнями — она рисуется автоматически и совпадает с нумерацией таблицы, так что «стержень 7» в тексте и на картинке один и тот же.

Если преподаватель требует ручной счёт двух-трёх узлов — возьмите их из хода решения: уравнения проекций для каждого узла выписаны с синусами и косинусами конкретных углов, а не абстрактными α и β.

Ферма работает как балка того же пролёта, у которой убрали всё лишнее. Пояса воспринимают изгибающий момент парой сил, решётка передаёт поперечную силу. Из этого следуют два правила, которые позволяют оценить любую ферму до всякого расчёта и, что важнее, проверить готовый ответ на правдоподобие.

• усилие в поясе равно моменту балки в том же сечении, делённому на расстояние между поясами;
• усилие в раскосе равно поперечной силе, делённой на синус его наклона; в стойке — равно поперечной силе;
• при нагрузке сверху нижний пояс всегда растянут, верхний сжат;
• у ферм с параллельными поясами усилия в поясах растут к середине, а в решётке — падают;
• у треугольных ферм нижний пояс нагружен ОДИНАКОВО по всей длине: плечо между поясами растёт вместе с моментом.

Отсюда сразу понятно, где что проверять. Пояса подбирают по середине пролёта, решётку — по опорной панели: опорный раскос обычно в несколько раз нагруженнее среднего. Ферма постоянного сечения по всей длине — почти всегда перерасход металла.

Самый неожиданный результат при подборе сечений: растянутый и сжатый стержни с близкими усилиями получают совершенно разные профили. Растянутый проверяют на прочность — площадь равна усилию, делённому на допускаемое напряжение, и всё. Сжатый проверяют на устойчивость, а там решает не площадь, а гибкость: отношение расчётной длины к наименьшему радиусу инерции.

Длинный тонкий стержень выпучивается вбок задолго до того, как напряжения дойдут до предела текучести. Поэтому сжатому поясу нередко достаётся вдвое большее сечение при вдвое меньшем напряжении — и это нормальный результат, а не ошибка подбора. Модуль показывает обе проверки раздельно: видно, какая из них оказалась решающей.

Практический вывод: сечение сжатого стержня удешевляется не увеличением профиля, а сокращением расчётной длины. Поставили связь посередине — гибкость упала вдвое, и профиль подобрался легче. Металла в поясах экономится больше, чем тратится на связи.

Реакции опор считаются до узлов — из равновесия фермы целиком, и этот шаг тоже показан: без верных реакций не сойдётся ни один опорный узел, поэтому проверка ΣM по опорам идёт первой строкой.

Фермы плоские и статически определимые: условие 2·У = С + 3 проверяется до расчёта, и переопределённую схему модуль не примет. Нагрузки прикладываются в узлы — так работает идеальная ферма; внеузловая нагрузка на пояс требует расчёта пояса на местный изгиб, это уже смешанная задача. Собственный вес стержней не учитывается, как и в учебных задачах.