Ферма под распределённой нагрузкой

1. 1

   Оси и приведение к узловой нагрузке

   Ось x ведём вправо вдоль пролёта, ось y вверх, начало отсчёта — в левой опоре. Усилие в стержне фермы постоянно по длине, местная координата понадобится только на последнем шаге, для местного изгиба пояса.

   Грузовая площадь узла — это половины панелей слева и справа от него. У среднего узла верхнего пояса примыкают две панели, значит ему достаётся целая длина 3 м. У крайнего узла панель одна, и ему достаётся половина.

   $$F_{\text{узла}} = q \cdot \frac{d_{\text{лев}} + d_{\text{прав}}}{2}$$
   $$F_{\text{средний}} = 10 \cdot 3 = 30{,}0\ \text{кН}, \qquad F_{\text{крайний}} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15{,}0\ \text{кН}$$
   Крайнему узлу

   15,0 кН

   Среднему узлу

   30,0 кН

   Проверка суммы

   90 кН

   Средним узлам 30,0 кН, крайним 15,0 кН. Сумма всех узловых сил 90 кН — ровно нагрузка 10 кН/м, умноженная на длину пояса 9 м. Ничего не потерялось и не удвоилось.

2. 2

   Реакции и усилия в стержнях

   Дальше — обычная ферма с узловой нагрузкой. Схема и нагрузка симметричны, поэтому реакции равны половине суммы: 45,00 кН.

   Проходим узлы или режем сечения — как удобнее. Нижний пояс растянут и нарастает к середине: 22,50 кН, 52,50 кН. Верхний сжат: −37,50 кН, −52,50 кН. Опорный раскос −50,31 кН — самый нагруженный в решётке.

   $$R = \frac{\sum F}{2}, \qquad N_{\text{пояс}} = \pm\frac{M}{H}$$
   $$R = \frac{90}{2} = 45{,}00\ \text{кН}; \qquad 52{,}50\ \text{кН} \ \text{и} \ -52{,}50\ \text{кН} \ \text{в середине}$$
   Реакция опоры

   45,00 кН

   Нижний пояс

   52,50 кН

   Верхний пояс

   −52,50 кН

   Реакции 45,00 кН, пояса в середине 52,50 кН и −52,50 кН, опорный раскос −50,31 кН.

3. 3

   Местный изгиб панели пояса

   Теперь то, ради чего эта страница и написана. Приведя нагрузку к узлам, мы получили правильные ПРОДОЛЬНЫЕ усилия, но сама панель пояса по-прежнему нагружена по всей длине. Между узлами она работает как балочка на двух опорах пролётом 3 м.

   Считаем эту балочку обычным способом: наибольший момент в середине панели, поперечная сила на её концах. Начало местной координаты — левый узел панели.

   $$M_{\text{мест}} = \frac{q d^{2}}{8}, \qquad Q_{\text{мест}} = \frac{q d}{2}$$
   $$M_{\text{мест}} = \frac{10 \cdot 3^{2}}{8} = 11{,}25\ \text{кН·м}, \qquad Q_{\text{мест}} = 15{,}0\ \text{кН}$$
   Местный момент

   11,25 кН·м

   Местная поперечная сила

   15,0 кН

   Местный момент 11,25 кН·м в середине панели, поперечная сила 15,0 кН у узлов. Совпадает с табличным q d²/8 = 11,25 кН·м.

4. 4

   Сложение продольного усилия с изгибом

   Панель верхнего пояса нагружена одновременно продольной силой −52,50 кН и моментом 11,25 кН·м. Напряжения от них складываются: сжатие от продольной силы плюс изгибные от момента.

   Считать такую панель как чисто сжатый стержень нельзя. Момент 11,25 кН·м на коротком плече даёт напряжения, сопоставимые с продольными, а для сжатого стержня добавка ещё и опаснее: она усиливает потерю устойчивости.

   $$\sigma = \frac{N}{A} + \frac{M_{\text{мест}}}{W}$$
   $$N = -52{,}50\ \text{кН}, \qquad M_{\text{мест}} = 11{,}25\ \text{кН·м}$$
   Продольное усилие пояса

   −52,50 кН

   Верхний пояс проверяют на сжатие с изгибом, а не на чистое сжатие. Нижний пояс от местного изгиба свободен — нагрузка лежит только сверху.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Фермы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 2.

• Дают крайнему узлу пояса целую панель

  К крайнему узлу примыкает одна панель, а не две: ему достаётся 15,0 кН, а не 30,0 кН. Ошибка сразу видна по проверке — сумма узловых сил перестанет совпадать с 90 кН.

• Забывают местный изгиб пояса

  Приведение к узлам даёт верные продольные усилия, но панель между узлами всё равно изгибается моментом 11,25 кН·м. Проверка пояса как чисто сжатого стержня идёт не в запас.

• Считают местный момент по всему пролёту фермы

  Балочка местного изгиба имеет пролёт в одну панель 3 м, а не 12 м. Ошибка в шестнадцать раз: q L²/8 против q d²/8 = 11,25 кН·м.

• Прикладывают приведённую нагрузку к нижнему поясу

  Нагрузка лежит на верхнем поясе, туда и приводится. Перенеся её вниз, вы получите те же реакции 45,00 кН, но перепутанные усилия в решётке — и совсем другой знак у стоек.