Ферма с параллельными поясами

1. 1

   Оси, реакции и балочная аналогия

   Ось x ведём вправо вдоль пролёта, ось y вверх, начало отсчёта — в левой опоре. Усилие в стержне фермы одно на всю его длину, местных координат тут не нужно.

   Прежде чем считать узлы, полезно посчитать балку: заменим ферму балкой того же пролёта под теми же силами. Реакции 75,00 кН получатся те же самые, а поперечная сила и момент этой балки дальше объяснят все числа фермы.

   $$R = \frac{\sum F}{2}, \qquad M(x), \ Q(x) \ \text{— как у балки}$$
   $$R = 75{,}00\ \text{кН}, \qquad M_{\text{середины}} = 405{,}0\ \text{кН·м}, \qquad Q_{\text{у опоры}} = 75{,}0\ \text{кН}$$
   Реакция опоры

   75,00 кН

   Момент балки в середине

   405,0 кН·м

   Реакции 75,00 кН. Момент в середине пролёта 405,0 кН·м, поперечная сила в опорной панели 75,0 кН, в средней — всего 15,0 кН.

2. 2

   Пояса повторяют эпюру моментов

   Усилие в поясе равно изгибающему моменту в том же сечении, делённому на расстояние между поясами. Высота 3 м постоянна, поэтому усилия пропорциональны моменту — и растут к середине ровно так же, как он.

   Смотрите на числа: нижний пояс −0,00 кН, 75,00 кН, 120,00 кН — нарастание от опоры к середине. Верхний зеркально: −75,00 кН, −120,00 кН, −135,00 кН, только со знаком минус, потому что он сжат.

   $$N_{\text{пояс}} = \pm\frac{M(x)}{H}$$
   $$N_{\text{низ}} = \frac{405{,}0}{3} \ \text{в середине}; \qquad -0{,}00\ \text{кН} \to 120{,}00\ \text{кН}$$
   Нижний пояс в середине

   120,00 кН

   Верхний пояс в середине

   −135,00 кН

   Нижний пояс растянут и нарастает до 120,00 кН, верхний сжат до −135,00 кН. Пары «растянуто снизу, сжато сверху» — это и есть та пара сил, которой ферма держит момент.

3. 3

   Решётка повторяет эпюру поперечных сил

   Раскос и стойка вместе передают поперечную силу с одного пояса на другой. Раскос наклонён, поэтому его усилие равно поперечной силе, делённой на синус угла; стойка вертикальна и берёт поперечную силу целиком.

   Поперечная сила убывает от опоры к середине — и решётка вслед за ней: раскосы 106,07 кН, 63,64 кН, 21,21 кН, стойки −75,00 кН, −45,00 кН и 0,00 кН в середине.

   $$N_{\text{раскос}} = \frac{Q}{\sin\alpha}, \qquad N_{\text{стойка}} = -Q$$
   $$\text{раскос у опоры } 106{,}07\ \text{кН} \ \text{при} \ Q = 75{,}0\ \text{кН}; \qquad \text{в середине } 21{,}21\ \text{кН}$$
   Опорный раскос

   106,07 кН

   Средний раскос

   21,21 кН

   Средняя стойка

   0,00 кН

   Опорный раскос 106,07 кН — самый нагруженный стержень решётки. К середине усилия падают в пять раз, а средняя стойка выходит нулевой: 0,00 кН.

4. 4

   Нулевые стержни в крайних панелях

   Крайняя панель нижнего пояса вышла нулевой: −0,00 кН. Это видно без расчёта, по признаку нулевого стержня — в опорном узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, а внешняя нагрузка к узлу не приложена.

   Средняя стойка 0,00 кН нулевая по другому признаку: узел, где сходятся три стержня, два из которых коллинеарны, и нет нагрузки. Оба стержня из фермы не выбрасывают — они держат геометрию и работают при других сочетаниях нагрузок.

   $$\text{два стержня на одной прямой} + \text{третий} + \text{нет нагрузки} \;\Rightarrow\; N_3 = 0$$
   $$N_{\text{край низа}} = -0{,}00\ \text{кН}, \qquad N_{\text{средняя стойка}} = 0{,}00\ \text{кН}$$
   Крайняя панель низа

   −0,00 кН

   Два нулевых стержня найдены по геометрии, до всякой арифметики. Расчёт это подтвердил.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Фермы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 2.

• Подбирают все панели пояса по одному усилию

  У опоры нижний пояс не нагружен вовсе (−0,00 кН), в середине — 120,00 кН. Единое сечение на всю длину проходит, но это лишний металл; в проекте пояс делят хотя бы на два участка.

• Ищут наибольший раскос в середине пролёта

  Раскосы повторяют эпюру Q, а она максимальна у опор. Опорный 106,07 кН, средний 21,21 кН — впятеро меньше. Привычка искать максимум в середине приходит от эпюры моментов.

• Выбрасывают нулевые стержни из фермы

  −0,00 кН и 0,00 кН нулевые при ЭТОЙ нагрузке. Уберите их — и ферма станет геометрически изменяемой, а при другом сочетании нагрузок они окажутся рабочими.

• Делят поперечную силу на тангенс вместо синуса

  Раскос воспринимает Q своей ВЕРТИКАЛЬНОЙ проекцией, значит делить надо на синус угла наклона. Тангенс даст ошибку тем большую, чем круче раскос.