Нулевые стержни фермы

1. 1

   Оси и первый признак: два стержня, нет нагрузки

   Ось x вправо вдоль нижнего пояса, ось y вверх, начало отсчёта в левой опоре. Дальше речь только об узлах, поэтому местных координат не понадобится.

   Признак первый и самый простой. Если в ненагруженном узле сходятся ровно два стержня и они не лежат на одной прямой — оба нулевые. Доказательство в одну строку: спроецируйте на направление, перпендикулярное одному из них, и второй окажется один в уравнении.

   В нашей ферме такого узла нет: она замкнутая. Зато признак постоянно срабатывает у консольных ферм и в углах покрытий.

   $$\text{2 стержня, нет нагрузки} \;\Rightarrow\; N_1 = N_2 = 0$$
   $$\text{В этой ферме таких узлов нет}$$

   Первый признак здесь не срабатывает, но помнить его надо: он самый частый в консольных схемах.

2. 2

   Второй признак: три стержня, два на одной прямой

   Если в ненагруженном узле сходятся три стержня и два из них лежат на одной прямой, то третий — нулевой. Проекция на перпендикуляр к этой прямой оставляет в уравнении его одного.

   Ровно так устроен средний узел верхнего пояса: два участка пояса продолжают друг друга, к ним подходит стойка, нагрузки в узле нет.

   $$\text{3 стержня, 2 коллинеарны, нет нагрузки} \;\Rightarrow\; N_3 = 0$$
   $$N_{\text{средняя стойка}} = 0{,}00\ \text{кН}$$
   Средняя стойка

   0,00 кН

   Найдено признаком

   1

   Средняя стойка нулевая: 0,00 кН. Это тот самый стержень, который находит топологический признак — 1 из 3.

3. 3

   Третий признак: сила вдоль одного из двух стержней

   Если в узле сходятся два стержня и внешняя сила направлена вдоль одного из них, то второй нулевой, а первый несёт всю силу. Частный случай — сила приложена вдоль стержня в опорном узле.

   У нас так работают крайние панели нижнего пояса. В опорном узле сходятся горизонтальный пояс и вертикальная стойка, а реакция вертикальна — то есть направлена вдоль стойки. Значит пояс нулевой, а стойка забирает реакцию целиком.

   $$\text{2 стержня, сила вдоль одного} \;\Rightarrow\; N_{\text{другой}} = 0$$
   $$N_{\text{крайняя панель}} = -0{,}00\ \text{кН}; \qquad N_{\text{опорная стойка}} = -60{,}00\ \text{кН}$$
   Крайняя панель слева

   −0,00 кН

   Крайняя панель справа

   0,00 кН

   Опорная стойка

   −60,00 кН

   Крайние панели нижнего пояса нулевые: −0,00 кН слева и 0,00 кН справа. Опорные стойки сжаты полной реакцией: −60,00 кН.

4. 4

   Что осталось посчитать

   Три нулевых стержня найдены, и работы стало заметно меньше. Дальше обычное вырезание узлов, но начинать теперь можно почти с любого узла: неизвестных везде поубавилось.

   Итоговые усилия показывают привычную картину: нижний пояс растянут, верхний сжат, раскосы у опор растянуты, стойки сжаты.

   $$\sum X = 0, \quad \sum Y = 0\ \text{в каждом узле}$$
   $$N_{\text{низ}} = 60{,}00\ \text{кН}; \quad N_{\text{верх}} = -80{,}00\ \text{кН}; \quad N_{\text{раскос}} = 84{,}85\ \text{кН}; \quad N_{\text{стойка}} = -20{,}00\ \text{кН}$$
   Нижний пояс

   60,00 кН

   Верхний пояс

   −80,00 кН

   Опорный раскос

   84,85 кН

   Нижний пояс 60,00 кН, верхний −80,00 кН, опорный раскос 84,85 кН, промежуточная стойка −20,00 кН.

5. 5

   Проверка: нулевые не значит лишние

   Соблазн выбросить нулевые стержни из конструкции велик, и он ошибочен. Нулевыми они оказались при ЭТОМ загружении; поменяйте нагрузку — и они заработают.

   Вторая их роль конструктивная: они уменьшают свободную длину сжатых поясов. Убрав среднюю стойку, вы вдвое увеличите расчётную длину верхнего пояса, а с ней и риск потери устойчивости.

   $$N = 0\ \text{при данном загружении} \ne \text{стержень не нужен}$$
   $$\text{нулевых при этом загружении: } 3\ \text{из}\ 17$$
   Нулевых стержней

   3

   Всего стержней

   17

   3 нулевых стержня из 17. Все три остаются в конструкции: при другом сочетании нагрузок они понадобятся.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Фермы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 2, §2.4.

• Применяют признак к нагруженному узлу

  Внешняя сила в самом узле отменяет первые два признака. Здесь нагруженные узлы нижнего пояса ничего не обнуляют — в них стойки как раз работают: −20,00 кН.

• Считают нулевой стержень лишним и выбрасывают его

  0,00 кН только при этом загружении. Стержень держит геометрическую неизменяемость и сокращает расчётную длину сжатого верхнего пояса — без него ферма станет хуже.

• Проверяют признак «на глаз», не убедившись в коллинеарности

  Второй признак требует, чтобы два стержня лежали строго на одной прямой. У пояса с переломом он не работает: там появляется составляющая, которую стойке приходится уравновешивать.

• Забывают повторить проверку после первого прохода

  Убрав найденные нулевые, часть узлов становится двухстержневыми, и признаки срабатывают снова. Одного прохода хватает не всегда.