Подбор сечения стержня фермы

1. 1

   Оси, усилия и допускаемое напряжение

   Ось x ведём вправо вдоль пролёта, ось y вверх, начало отсчёта — в левой опоре. Усилие в стержне фермы одно на всю длину, поэтому сечение подбирают на стержень целиком.

   Из расчёта фермы берём два самых нагруженных стержня: сжатую панель верхнего пояса −80,00 кН и растянутую нижнего 60,00 кН. Допускаемое напряжение получаем делением предела текучести 245 МПа на запас 1,8.

   $$[\sigma] = \frac{\sigma_T}{n}$$
   $$[\sigma] = \frac{245}{1{,}8} = 136{,}11\ \text{МПа}$$
   Допускаемое напряжение

   136,11 МПа

   Сжатый пояс

   −80,00 кН

   Растянутый пояс

   60,00 кН

   Допускаемое напряжение 136,11 МПа. Сжатый стержень −80,00 кН, растянутый 60,00 кН, оба длиной 3000 мм.

2. 2

   Растянутый стержень: только прочность

   Растянутому стержню выпучиваться некуда, поэтому проверка у него одна — на прочность. Требуемая площадь равна усилию, делённому на допускаемое напряжение, и по ней подбирают ближайший уголок из сортамента.

   Получился профиль площадью 1061 мм² с напряжением 56,55 МПа при допускаемом 136,11 МПа. Использование 41,5 % — сечение загружено почти наполовину, ближе взять не позволяет шаг сортамента.

   $$A \ge \frac{N}{[\sigma]}, \qquad \sigma = \frac{N}{A} \le [\sigma]$$
   $$\sigma = \frac{60{,}00 \cdot 10^{3}}{1061} = 56{,}55\ \text{МПа} \le 136{,}11\ \text{МПа}$$
   Площадь растянутого

   1061 мм²

   Напряжение

   56,55 МПа

   Растянутому поясу хватило площади 1061 мм². Проверка прошла с использованием 41,5 %.

3. 3

   Сжатый стержень: сначала гибкость

   Для сжатого стержня порядок обратный: сначала смотрят гибкость, потом напряжения. Гибкость — это расчётная длина, делённая на наименьший радиус инерции сечения. Именно наименьший: выпучиваться стержень будет в ту сторону, где ему легче.

   Нормы ограничивают гибкость сжатого пояса числом 120. Это ограничение и определяет сечение: профиль приходится брать таким, чтобы радиус инерции был достаточно велик, а вовсе не таким, чтобы хватило площади.

   $$\lambda = \frac{\mu l}{i_{min}} \le [\lambda]$$
   $$\lambda = \frac{3000}{27{,}9} = 107{,}5 \le 120$$
   Гибкость

   107,5

   Радиус инерции

   27,9 мм

   Площадь сжатого

   2472 мм²

   Гибкость 107,5 при пределе 120 — проходит впритык. Радиус инерции 27,9 мм потребовал уголка площадью 2472 мм².

4. 4

   Проверка устойчивости

   Гибкость сама по себе — ещё не проверка. По ней находят коэффициент продольного изгиба: он показывает, какую долю от прочности сечение сохраняет при данной гибкости. Чем стержень гибче, тем коэффициент меньше.

   Допускаемое напряжение при устойчивости получается заметно ниже, чем при прочности: 58,04 МПа против 136,11 МПа у растянутого стержня. Фактическое напряжение 32,36 МПа в него укладывается с использованием 55,8 %.

   $$\sigma = \frac{|N|}{A} \le \frac{\varphi R_y}{n_y}$$
   $$\sigma = \frac{-80{,}00 \cdot 10^{3}}{2472} = 32{,}36\ \text{МПа} \le 58{,}04\ \text{МПа}$$
   Напряжение сжатого

   32,36 МПа

   Предел по устойчивости

   58,04 МПа

   Сжатый пояс проходит: 32,36 МПа против допускаемых 58,04 МПа. Запас по устойчивости 2,0.

5. 5

   Сравниваем два стержня

   Вот итог, ради которого всё считалось. Сжатый стержень несёт −80,00 кН, растянутый 60,00 кН — разница в полтора раза. А площади вышли 2472 мм² и 1061 мм², то есть разница больше чем вдвое.

   Причём напряжение в сжатом стержне 32,36 МПа — МЕНЬШЕ, чем в растянутом 56,55 МПа. Прочности с огромным запасом хватило бы и на маленький профиль; сечение назначила устойчивость, а не прочность.

   $$\frac{A_{\text{сж}}}{A_{\text{раст}}} \gg \frac{\left|N_{\text{сж}}\right|}{N_{\text{раст}}}$$
   $$\text{площади } 2472\ \text{мм²} \ \text{и} \ 1061\ \text{мм²}; \qquad \text{напряжения } 32{,}36\ \text{МПа} \ \text{и} \ 56{,}55\ \text{МПа}$$
   Использование сжатого

   55,8 %

   Использование растянутого

   41,5 %

   Сжатый стержень требует вдвое большего сечения при меньшем напряжении. Это нормальный результат для фермы, а не ошибка подбора.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Фермы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: СП 16.13330 «Стальные конструкции», разд. 7; Дарков А. В. Строительная механика, гл. 2.

• Подбирают сжатый стержень по прочности

  Из условия прочности сжатому поясу хватило бы площади меньше 1061 мм². Устойчивость потребовала 2472 мм² — вдвое больше. Напряжение в нём при этом всего 32,36 МПа.

• Берут наибольший радиус инерции вместо наименьшего

  Стержень выпучится там, где ему легче, то есть в плоскости с МЕНЬШИМ радиусом. Здесь 27,9 мм; взяв больший, вы получите заниженную гибкость и сечение, которое на деле не проходит.

• Считают гибкость по длине панели в метрах

  Радиус инерции в сортаменте дан в миллиметрах, значит и длину надо брать в них: 3000 мм. Метры дадут гибкость в тысячу раз меньше — и стержень «пройдёт» с любым сечением.

• Проверяют гибкость только в плоскости фермы

  Из плоскости расчётная длина считается до ближайших связей, а не до соседнего узла. Если связи стоят через две панели, расчётная длина удваивается, а гибкость выходит за 120.