Треугольная ферма: расчёт усилий

1. 1

   Оси, реакции и геометрия ската

   Ось x ведём вправо вдоль пролёта, ось y вверх, начало отсчёта — в левой опоре. Местных координат у фермы нет: стержень работает только вдоль своей оси, и усилие в нём одно на всю длину.

   Нагрузка и схема симметричны, поэтому реакции равны половине суммарной нагрузки 90 кН. Заодно посчитаем геометрию ската: панель верхнего пояса поднимается на 1,5 м при горизонтальной проекции 3 м, значит её длина 3,354 м.

   $$R = \frac{\sum F}{2}, \qquad l_{\text{ската}} = \sqrt{d^{2} + \Delta h^{2}}$$
   $$R = \frac{90}{2} = 45{,}00\ \text{кН}, \qquad l_{\text{ската}} = \sqrt{3^{2} + 1{,}5^{2}} = 3{,}354\ \text{м}$$
   Реакция опоры

   45,00 кН

   Длина панели ската

   3,354 м

   Реакции по 45,00 кН. Синус угла наклона ската 0,4472, косинус 0,8944 — они понадобятся при вырезании опорного узла.

2. 2

   Опорный узел: самый нагруженный стержень фермы

   Вырезаем левый опорный узел. В нём сходятся два стержня — панель верхнего пояса и панель нижнего, — плюс реакция 45,00 кН. Двух уравнений равновесия хватает на два неизвестных усилия.

   Начинаем с проекций на вертикаль: горизонтальный нижний пояс в неё не входит вовсе, и усилие в наклонной панели находится сразу. Именно она оказывается самым нагруженным стержнем всей фермы — у треугольных ферм так всегда.

   $$\sum Y = 0: \quad R + N_{\text{ската}} \sin\alpha = 0$$
   $$N_{\text{ската}} = -\frac{45{,}00}{0{,}4472} = -100{,}62\ \text{кН}$$
   Опорная панель ската

   −100,62 кН

   Нижний пояс у опоры

   90,00 кН

   Опорная панель верхнего пояса сжата силой −100,62 кН — больше, чем любой другой стержень. Проекция на горизонталь даёт усилие в нижнем поясе 90,00 кН.

3. 3

   Нижний пояс: одно число на всю длину

   Проходим узлы нижнего пояса один за другим. В каждом сходятся две панели пояса, стойка и внешняя сила. И каждый раз получается тот же результат: усилие в поясе не меняется — 90,00 кН, 90,00 кН, 90,00 кН и 90,00 кН совпадают.

   Это свойство именно треугольной фермы. Усилие в поясе равно изгибающему моменту, делённому на расстояние между поясами в том же сечении. К середине момент растёт, но вместе с ним поднимается верхний пояс — и частное остаётся постоянным.

   $$N_{\text{низ}} = \frac{M}{h(x)} = \mathrm{const}$$
   $$N = 90{,}00\ \text{кН} = 90{,}00\ \text{кН} = 90{,}00\ \text{кН} = 90{,}00\ \text{кН}$$
   Усилие в нижнем поясе

   90,00 кН

   Весь нижний пояс растянут одинаково: 90,00 кН. Подбирать сечение для него можно один раз на всю длину, без деления на участки.

4. 4

   Верхний пояс и решётка

   У верхнего пояса всё наоборот: сжатие убывает от опоры к коньку — от −100,62 кН до −67,08 кН. Плечо между поясами растёт, момент тоже, но здесь ещё и наклон меняет проекции, и постоянства не получается.

   Стойки передают на верхний пояс силы, приложенные к нижнему: крайняя стойка 30,00 кН, коньковая 60,00 кН. Раскосы работают на сжатие −33,54 кН и разгружают середину пролёта.

   $$N_{\text{верх}}(x) = -\frac{M(x)}{h(x) \cos\alpha}$$
   $$\text{у опоры } -100{,}62\ \text{кН} \;\to\; \text{у конька } -67{,}08\ \text{кН}$$
   Коньковая панель

   −67,08 кН

   Коньковая стойка

   60,00 кН

   Раскос

   −33,54 кН

   Верхний пояс сжат неравномерно, и сечение для него подбирают по опорной панели −100,62 кН. Стойки растянуты, раскосы сжаты.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Фермы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 2.

• Считают длину панели ската равной шагу узлов

  Панель наклонная: её длина 3,354 м, а не 3 м. Горизонтальная проекция и настоящая длина различаются, и от этого зависят и проекции усилий, и гибкость стержня при подборе сечения.

• Ожидают, что усилие в нижнем поясе растёт к середине

  Это верно для параллельных поясов. Здесь пояс нагружен одинаково: 90,00 кН у опоры и 90,00 кН у другой опоры — одно и то же число, потому что плечо растёт вместе с моментом.

• Подбирают верхний пояс по коньковой панели

  Коньковая панель самая слабонагруженная: −67,08 кН против −100,62 кН у опоры. Сечение верхнего пояса определяет именно опорная панель.

• Берут синус угла из уклона кровли, а не из панели

  Синус здесь 0,4472 — отношение подъёма панели 1,5 м к её полной длине 3,354 м, а не к горизонтальной проекции. Через тангенс считать можно, но переводить в синус придётся всё равно.