Ферма: метод Риттера

1. 1

   Оси, реакции и куда провести сечение

   Ось x идёт вправо вдоль нижнего пояса, ось y вверх, начало отсчёта в левой опоре. Координаты узлов ниже отсчитаны от неё.

   Реакции находим из равновесия фермы как целого. Нагрузка симметрична, поэтому они равны.

   Сечение проводим вертикально на расстоянии 5 м от левой опоры. Оно рассекает ровно три стержня: верхний пояс, раскос и нижний пояс. Больше трёх рассекать нельзя — уравнений не хватит.

   $$R = \frac{\sum F_i}{2}$$
   $$R_1 = 60{,}00\ \text{кН}; \qquad R_5 = 60{,}00\ \text{кН}$$
   Левая реакция

   60,00 кН

   Правая реакция

   60,00 кН

   Реакции по 60,00 кН. Сечение на 5 м от опоры рассекает три стержня — метод применим.

2. 2

   Верхний пояс: момент относительно нижнего узла

   Отбрасываем правую часть, оставляем левую. В сечении прикладываем три неизвестных усилия — все направлены от отсечённой части, то есть предполагаем растяжение.

   Чтобы найти верхний пояс, берём моменты относительно узла нижнего пояса с координатой 6 м: через него проходят и раскос, и нижний пояс, их моменты обращаются в ноль. В уравнении остаётся один неизвестный.

   Плечо верхнего пояса относительно этой точки — высота фермы 3 м.

   $$\sum M_{\text{Н3}} = 0: \quad R_1 x_{\text{Н3}} - F(x_{\text{Н3}} - d) + N_{\text{в}} H = 0$$
   $$N_{\text{в}} = -\frac{240}{3} = -80{,}00\ \text{кН}$$
   Момент внешних сил

   240 кН·м

   Верхний пояс

   −80,00 кН

   Верхний пояс сжат: −80,00 кН. Момент внешних сил относительно моментной точки составил 240 кН·м.

3. 3

   Нижний пояс: момент относительно верхнего узла

   Меняем моментную точку. Теперь берём узел верхнего пояса с координатой 4,5 м: через него проходят верхний пояс и раскос — именно те два, которые сейчас мешают.

   Плечо нижнего пояса относительно этой точки — снова высота 3 м, но знак момента внешних сил другой, и усилие получается растягивающим.

   $$\sum M_{\text{В2}} = 0: \quad R_1 x_{\text{В2}} - F(x_{\text{В2}} - d) - N_{\text{н}} H = 0$$
   $$N_{\text{н}} = \frac{210}{3} = 70{,}00\ \text{кН}$$
   Момент внешних сил

   210 кН·м

   Нижний пояс

   70,00 кН

   Нижний пояс растянут: 70,00 кН. Обратите внимание, что усилия поясов противоположны по знаку и близки по модулю — ферма работает как балка, пояса образуют пару сил.

4. 4

   Раскос: проекция на вертикаль

   Для раскоса моментной точки не найти: пояса параллельны и пересекаются в бесконечности. Вместо уравнения моментов берём проекцию на вертикаль — пояса горизонтальны и в неё не входят.

   Остаётся вертикальная составляющая раскоса, уравновешивающая перерезывающую силу в сечении. Синус угла наклона 0,8944.

   $$\sum Y = 0: \quad R_1 - F + N_{\text{р}} \sin\alpha = 0$$
   $$N_{\text{р}} = \frac{40 - 60{,}00}{0{,}8944} = 22{,}36\ \text{кН}$$
   Раскос

   22,36 кН

   Раскос растянут: 22,36 кН. Знак говорит о направлении решётки — при нагрузке сверху раскосы этого наклона работают на растяжение.

5. 5

   Сверка с соседней панелью

   Метод хорош тем, что позволяет проверить себя, не считая всю ферму: проведите второе сечение через соседнюю панель и сравните. Усилия в поясах обязаны меняться в ту же сторону, что и изгибающий момент балки того же пролёта.

   В первой панели нижний пояс 30,00 кН, верхний −60,00 кН; во второй — 70,00 кН и −80,00 кН. Оба растут к середине, как и положено: там больше момент.

   $$N_{\text{пояс}} = \pm \frac{M_{\text{балочный}}}{H}$$
   $$\text{панель 1: } 30{,}00\ \text{кН},\ -60{,}00\ \text{кН}; \qquad \text{панель 2: } 70{,}00\ \text{кН},\ -80{,}00\ \text{кН}$$
   Нижний пояс, панель 1

   30,00 кН

   Верхний пояс, панель 1

   −60,00 кН

   Опорный раскос

   −67,08 кН

   Усилия растут к середине пролёта. Самый нагруженный стержень фермы — опорный раскос −67,08 кН: он передаёт всю реакцию.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Фермы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 2, §2.5.

• Рассекают больше трёх стержней

  Уравнений равновесия для плоской системы три, значит и неизвестных не больше трёх. Сечение через четыре стержня не решается — надо искать другое.

• Берут моменты относительно произвольной точки

  Тогда в уравнении остаются все три неизвестных и метод теряет смысл. Полюс выбирают в пересечении двух ненужных стержней: для верхнего пояса это узел при 6 м, для нижнего — при 4,5 м.

• Ищут моментную точку для раскоса

  Пояса параллельны, пересечения у них нет. Для раскоса работает проекция на вертикаль, где пояса выпадают сами: отсюда и 22,36 кН.

• Учитывают силы с обеих сторон сечения

  Одна часть отброшена целиком, вместе со всеми приложенными к ней силами. В уравнения идёт только оставшаяся: здесь реакция 60,00 кН и одна сила 40 кН.

• Путают плечо усилия с длиной стержня

  Плечо пояса относительно моментной точки — высота фермы 3 м, а не длина панели и не длина самого стержня. Ошибка здесь сразу искажает результат в разы.