Метод вырезания узлов
Метод вырезания узлов — это последовательное рассмотрение равновесия каждого узла фермы. Узел мысленно отделяют, стержни заменяют усилиями и пишут два уравнения проекций. Обходить узлы нужно так, чтобы в каждом было не больше двух неизвестных усилий.
Ферма кажется сложной из-за количества стержней: их два-три десятка, и непонятно, с какого конца браться. Метод вырезания узлов снимает этот вопрос целиком — он разбивает большую задачу на цепочку одинаковых маленьких, и каждая решается в две строки.
Работает он потому, что в ферме все стержни шарнирные и нагружены только по концам. Момент в узле передавать нечем, поэтому вместо трёх уравнений равновесия остаётся два — проекции на две оси. Два уравнения закрывают ровно два неизвестных усилия, отсюда и всё правило обхода.
Плата за простоту — последовательность. Усилие в середине пояса нельзя получить, не пройдя до него все узлы подряд, и ошибка в первом же узле уедет во все следующие. Когда нужен один стержень, а не вся ферма, быстрее метод Риттера.
Почему уравнений два, а не три
Вырезанный узел — это точка, в которой сходятся оси стержней. Все силы приложены к одной точке, а сходящаяся система сил момента относительно неё не даёт: плечо у каждой силы нулевое. Третье уравнение вырождается в тождество и ничего не добавляет.
Отсюда правило обхода: узел годится, если неизвестных в нём не больше двух. Три неизвестных — два уравнения их не закроют, и надо идти к другому узлу. Начинают поэтому от опоры, где реакция уже найдена, а стержней сходится мало.
Стержни при вырезании всегда направляют ОТ узла, то есть предполагают растяжение. Тогда знак ответа читается сам: плюс — растянут, минус — сжат. Договорённость не обязательная, но она избавляет от половины ошибок в знаках.
Реакции считаются до узлов, а не вместе с ними
Ферма на двух опорах статически определима снаружи: реакции находятся из равновесия всей фермы как жёсткого целого, по обычным трём уравнениям. Делать это надо ПЕРВЫМ шагом — иначе опорный узел окажется с тремя неизвестными, и обход некуда будет начать.
В нашем примере ферма симметрична и нагружена симметрично, поэтому обе реакции равны половине суммы сил: при суммарной нагрузке 70 кН каждая опора берёт 35,00 кН. Симметрия — бесплатная проверка: если реакции вышли разными, ошибка уже здесь, и дальше идти бессмысленно.
Есть и обратный случай: у консольной фермы, защемлённой одним концом, обход можно начать со свободного конца вообще без реакций — там узел с двумя стержнями найдётся сразу.
Наклонные стержни: синус и косинус берутся из геометрии
Раскос входит в уравнение проекциями, и множители к нему — не табличные углы, а отношения размеров панели. Считать их калькулятором через арктангенс незачем: длина раскоса получается по теореме Пифагора, а дальше косинус равен отношению горизонтальной проекции к ней, синус — вертикальной.
В примере панель имеет ширину 3 м и высоту 4 м, длина раскоса выходит 5 м, а множители — 0,60 и 0,80. Числа круглые не случайно: учебные фермы почти всегда собирают на египетском треугольнике, и если синус вышел некрасивым, стоит перепроверить размеры.
Одна и та же пара множителей работает на всех раскосах одинакового наклона — пересчитывать её в каждом узле не нужно, достаточно следить за направлением.
Нулевые стержни находятся до всякого счёта
Часть усилий в ферме равна нулю, и это видно по картинке, без уравнений. Три признака закрывают почти все учебные схемы: в ненагруженном узле из двух стержней оба нулевые; в ненагруженном узле из трёх, где два лежат на одной прямой, нулевой третий; в узле из двух стержней с силой вдоль одного из них второй нулевой.
В примере таким оказывается средняя стойка: 0,00 кН. Это не ошибка расчёта и не лишняя деталь — стержень нужен, чтобы удержать пояс от потери устойчивости, а при данной нагрузке он просто не работает. При другом расположении сил он нагрузится.
Выгода прямая: каждый найденный глазами нуль убирает одно неизвестное из соседнего узла, а значит открывает обход там, где он казался закрытым.
Проверка: узел, который не участвовал в выводе
Последовательный обход опасен тем, что ошибка не обнаруживает себя: следующий узел честно решится с неверным входным усилием. Поэтому в конце берут узел, через который расчёт не проходил, — обычно второй опорный или коньковый, — и подставляют в него уже найденные усилия.
Сходятся проекции к нулю (с точностью до округления) — ферма посчитана верно вся. Не сходятся — расхождение указывает на ветку, по которой шли к этому узлу.
Второй способ проверки — симметрия: в симметричной ферме под симметричной нагрузкой зеркальные стержни обязаны получить равные усилия. У нас это видно по поясам: −43,75 кН в опорном раскосе слева и столько же справа.
На числах
Ферма с параллельными поясами под тремя узловыми силами: обход начат от левой опоры, где реакция 35,00 кН, и доведён до середины пролёта.
Где обычно ошибаются
Начинают с узла, где три неизвестных
Два уравнения три неизвестных не закроют. Признак — в выкладках появляется «выразим одно через другое»: это уже не метод узлов, а система на всю ферму. Ищите узел проще или снимите неизвестное признаком нулевого стержня.
Направляют стержни к узлу, а не от него
Смешение двух договорённостей в одной ферме — самая частая причина неверных знаков. Направляйте все усилия от узла всегда: тогда минус в ответе означает сжатие, и переводить ничего не надо.
Считают косинус и синус заново в каждом узле
Множители 0,60 и 0,80 зависят только от наклона стержня, а не от узла. Пересчёт в каждом узле не ошибка сам по себе, но каждый лишний раз — это лишний шанс перепутать синус с косинусом.
Забывают проверить ферму на не участвовавшем узле
Последовательный обход не самопроверяется: ошибка в первом узле спокойно доезжает до последнего. Без контрольного узла расчёт считается незаконченным — и на защите спрашивают именно про него.
Считают нулевой стержень лишним
0,00 кН в стойке не значит, что её можно выбросить. Она держит длину сжатого пояса, и при другой расстановке сил в ней появится усилие. Нулевой — это про данную нагрузку, а не про конструкцию.
Частые вопросы
С какого узла начинать?
С опорного: там реакция уже известна, а стержней сходится два — пояс и раскос. Если опорный узел сложнее, ищите любой узел с двумя стержнями; в учебных фермах он есть почти всегда.
Типы опор и их реакции →Чем метод узлов отличается от метода Риттера?
Полнотой и ценой. Узлы дают ВСЕ усилия, но только по порядку, от опоры и дальше. Риттер даёт одно нужное усилие сразу, без предыдущих, — но не даёт остальных. Для полного расчёта берут узлы, для проверки одного стержня — Риттера.
Метод Риттера →Что делать, если усилие получилось отрицательным?
Ничего: знак и есть ответ. Минус означает сжатие — стержень работает навстречу предположенному направлению. Переобозначать его и менять знак в следующих узлах не нужно, иначе собьётся вся цепочка.
Можно ли считать ферму с наклонным верхним поясом?
Да, метод от этого не меняется — меняются только множители проекций: у каждого наклона свои синус и косинус. Треугольная ферма считается тем же обходом, просто углов в ней два вида.
Треугольная ферма →