Ферма: метод вырезания узлов

1. 1

   Оси и опорные реакции

   Ось x направим вправо вдоль нижнего пояса, ось y вверх; начало отсчёта — в левой опоре, узле 1. Все проекции ниже берутся относительно этой пары.

   Ферму целиком считаем как одно жёсткое тело: внутреннее устройство на реакции не влияет. Нагрузка симметрична, но проверим уравнением моментов — привычка полезнее интуиции.

   $$\sum M_5 = 0 \;\Rightarrow\; R_1 = \frac{\sum F_i (L - x_i)}{L}$$
   $$R_1 = 35{,}00\ \text{кН}; \qquad R_5 = 35{,}00\ \text{кН}; \qquad R_1 + R_5 = 70\ \text{кН}$$
   Левая реакция

   35,00 кН

   Правая реакция

   35,00 кН

   Обе реакции по 35,00 кН. Сумма 70 кН совпала с полной нагрузкой — равновесие сходится.

2. 2

   С какого узла начинать

   Уравнений на узел два, поэтому вырезать можно только тот узел, где неизвестных не больше двух. Опорный узел 1 подходит: реакция известна, а стержней от него отходит ровно два — нижний пояс и наклонный.

   Дальше порядок сам себя подскажет: найденные усилия становятся известными для соседних узлов, и подходящих узлов делается всё больше. Обход идёт от опор к середине.

   $$n_{\text{неизвестных в узле}} \le 2$$
   $$\text{Узел 1: } R_1 = 35{,}00\ \text{кН},\ \text{неизвестны } N_{1\text{-}2},\ N_{1\text{-}6}$$

   Начинаем с опорного узла 1. Порядок обхода: 1 → 2 → 6 → 3 и симметрично с правой стороны.

3. 3

   Опорный узел: разложение по осям

   В узел 1 приходят: реакция вверх, горизонтальный стержень нижнего пояса и наклонный к верхнему узлу. Наклонный образует с горизонталью треугольник со сторонами 3 м и 4 м, то есть длина его 5 м, а косинус и синус — 0,60 и 0,80.

   Уравнение проекций на вертикаль содержит только наклонный стержень и реакцию — из него сразу находится усилие. Затем горизонталь даёт второе.

   $$\sum Y = 0: \; R_1 + N_{1\text{-}6}\sin\alpha = 0; \qquad \sum X = 0: \; N_{1\text{-}2} + N_{1\text{-}6}\cos\alpha = 0$$
   $$N_{1\text{-}6} = -\frac{35{,}00}{0{,}80} = -43{,}75\ \text{кН}; \qquad N_{1\text{-}2} = 26{,}25\ \text{кН}$$
   Опорный наклонный

   −43,75 кН

   Нижний пояс у опоры

   26,25 кН

   Наклонный стержень сжат — −43,75 кН, нижний пояс растянут — 26,25 кН. Знаки не выбираются, а получаются: минус означает сжатие.

4. 4

   Идём вглубь фермы

   В узле 2 сходятся два стержня нижнего пояса, стойка и внешняя сила 20 кН. Усилие в левом поясе уже известно, значит неизвестных два — узел решается.

   Вертикальная проекция здесь особенно наглядна: оба пояса горизонтальны и в неё не входят, поэтому стойка одна уравновешивает всю силу 20 кН.

   $$\text{Узел 2}: \; \sum Y = 0 \;\Rightarrow\; N_{2\text{-}6} = F_2; \qquad \sum X = 0 \;\Rightarrow\; N_{2\text{-}3} = N_{1\text{-}2}$$
   $$N_{2\text{-}6} = 20{,}00\ \text{кН}; \qquad N_{2\text{-}3} = 26{,}25\ \text{кН}$$
   Стойка

   20,00 кН

   Нижний пояс во второй панели

   26,25 кН

   Стойка растянута на 20,00 кН — ровно на приложенную силу. Нижний пояс не изменился: 26,25 кН против 26,25 кН.

5. 5

   Верхний пояс и остальные стержни

   Узел 6 замыкает левую часть: в нём сходятся уже известный опорный наклонный, известная стойка, верхний пояс и раскос к середине. Два уравнения — два неизвестных.

   Дальше симметрия делает половину работы: правая сторона фермы повторяет левую. Останется добраться до среднего узла и убедиться, что там всё сходится.

   $$\text{Узел 6}: \; \sum X = 0, \; \sum Y = 0$$
   $$N_{6\text{-}7} = -37{,}50\ \text{кН}; \quad N_{3\text{-}6} = 18{,}75\ \text{кН}; \quad N_{3\text{-}7} = 0{,}00\ \text{кН}; \quad N_{3\text{-}4} = 26{,}25\ \text{кН}$$
   Верхний пояс

   −37,50 кН

   Раскос

   18,75 кН

   Средняя стойка

   0,00 кН

   Верхний пояс сжат на −37,50 кН, раскос растянут на 18,75 кН. Вертикальный стержень в середине оказался нулевым: 0,00 кН.

6. 6

   Проверка и картина в целом

   Последний узел даёт проверку: к нему мы приходим со всеми известными усилиями, и оба уравнения обязаны выполниться сами собой. Если не выполняются, ошибка где-то по дороге.

   Посмотрите на итог целиком. Нижний пояс растянут по всей длине, верхний сжат, опорные наклонные сжаты, стойки и раскосы растянуты. Это типичная картина балочной фермы, и по ней стоит проверять любой свой расчёт на правдоподобие.

   $$\sum X = 0, \quad \sum Y = 0\ \text{в каждом узле}$$
   $$\text{Нижний пояс: } 26{,}25\ \text{кН},\ 26{,}25\ \text{кН},\ 26{,}25\ \text{кН},\ 26{,}25\ \text{кН}; \qquad \text{верхний: } -37{,}50\ \text{кН},\ -37{,}50\ \text{кН}$$
   Нижний пояс справа

   26,25 кН

   Верхний пояс справа

   −37,50 кН

   Правый опорный наклонный

   −43,75 кН

   Нижний пояс растянут одинаково на всей длине — 26,25 кН. Верхний сжат — −37,50 кН. Опорные наклонные −43,75 кН и −43,75 кН — самые нагруженные стержни фермы.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Фермы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 2.

• Вырезают узел, где неизвестных три

  Уравнений всего два, и такой узел не решается. Порядок обхода не произволен: начинать надо с опорного узла 1, где неизвестны только 26,25 кН и −43,75 кН.

• Задают знак усилия заранее «по смыслу»

  Все неизвестные направляют ОТ узла, то есть предполагают растяжение, и знак получают из уравнения. Минус в ответе — −43,75 кН — и означает сжатие; угадывать заранее незачем.

• Забывают разложить наклонный стержень на проекции

  В уравнения входят не сами усилия, а их составляющие: 0,60 и 0,80 от −43,75 кН. Подставив полное усилие в вертикальное уравнение, вы завысите его на четверть.

• Считают все стержни нагруженными

  Средняя стойка здесь нулевая — 0,00 кН. Такие стержни в ферме обычны, и находятся они до всяких вычислений, по виду узла.

• Пропускают проверку последнего узла

  Она бесплатна: к последнему узлу приходят одни известные усилия, и оба уравнения обязаны сойтись. Это единственный способ поймать ошибку, сделанную три узла назад.