Проверка равновесия узлов фермы

1. 1

   Оси и счёт: хватит ли уравнений

   Ось x ведём вправо вдоль пролёта, ось y вверх, начало отсчёта — в левой опоре. Проверять равновесие будем в этих же осях, узел за узлом.

   Первая проверка делается до расчёта. Неизвестных в ферме 18: усилия в 15 стержнях плюс 3 опорные реакции. Уравнений — по два на узел, то есть 18 при 9 узлах. Числа совпали: ферма статически определима, и решение существует и единственно.

   $$2 n_{\text{узлов}} = n_{\text{стержней}} + n_{\text{реакций}}$$
   $$2 \cdot 9 = 18 = 15 + 3 = 18$$
   Уравнений

   18

   Неизвестных

   18

   18 уравнений на 18 неизвестных. Не совпади числа — считать было бы нечего: при недостатке уравнений ферма неопределима, при избытке она механизм.

2. 2

   Реакции и первая независимая проверка

   Реакции находим из равновесия фермы целиком: сумма моментов относительно одной опоры даёт вторую. Нагрузка несимметрична, поэтому реакции считаем честно, а не делением пополам — хотя здесь они всё равно вышли равными 70,00 кН и 70,00 кН.

   Проверяем их независимым уравнением: суммой моментов относительно ДРУГОЙ опоры. Оно в поиске реакций не участвовало, поэтому проверяет по-настоящему. Сумма проекций на вертикаль тоже обязана дать ноль: 70,00 кН плюс 70,00 кН против нагрузки 140 кН.

   $$\sum M_{\text{левой}} = 0 \;\to\; R_{\text{правой}}; \qquad \sum M_{\text{правой}} = 0 \;\text{— проверка}$$
   $$R_{\text{лев}} + R_{\text{прав}} = 70{,}00\ \text{кН} + 70{,}00\ \text{кН} = 140\ \text{кН}$$
   Левая реакция

   70,00 кН

   Правая реакция

   70,00 кН

   Реакции 70,00 кН и 70,00 кН, их сумма равна нагрузке 140 кН. Первый контроль пройден.

3. 3

   Усилия в стержнях

   Обходим узлы в порядке, где на каждом шаге не больше двух неизвестных: начинаем с опорного, дальше по нижнему поясу. Опорный раскос −78,26 кН сжат, нижний пояс растянут — 35,00 кН, дальше 85,00 кН.

   Верхний пояс сжат: −70,00 кН и −100,00 кН. Раскосы чередуют знак по мере удаления от опоры: 78,26 кН растянут, −33,54 кН сжат. Это обычная картина для треугольной решётки.

   $$\sum X = 0, \qquad \sum Y = 0 \quad \text{в каждом узле}$$
   $$-78{,}26\ \text{кН} \ \text{(опорный раскос)}; \quad 85{,}00\ \text{кН} \ \text{(низ)}; \quad -100{,}00\ \text{кН} \ \text{(верх)}$$
   Опорный раскос

   −78,26 кН

   Верхний пояс

   −100,00 кН

   Все 15 усилий найдены. Теперь их надо проверить — и проверять будем не выборочно, а во всех узлах сразу.

4. 4

   Вырезаем каждый узел и считаем невязку

   Берём узел, прикладываем к нему усилия всех сходящихся стержней, внешнюю нагрузку и реакцию, если узел опорный. Растянутый стержень тянет узел К СЕБЕ, сжатый — от себя; это единственное место, где легко перепутать направление.

   Складываем проекции на обе оси. То, что осталось, называется невязкой. В опорном узле получилось −0,000000000 кН по горизонтали и 0,000000000 кН по вертикали, в первом узле нижнего пояса 0,000000000 кН и 0,000000000 кН.

   $$\Delta_x = \sum N_i \cos\alpha_i + \sum F_x, \qquad \Delta_y = \sum N_i \sin\alpha_i + \sum F_y$$
   $$\text{наибольшая невязка по всем } 9 \ \text{узлам: } 0{,}000000000\ \text{кН}$$
   Наибольшая невязка

   0,000000000 кН

   Невязка узла по y

   0,000000000 кН

   Наибольшая невязка по всей ферме 0,000000000 кН. Равновесие выполняется в каждом узле — решение верно.

5. 5

   Проверка сечением

   Проверка по узлам ловит арифметику, но не ловит систематическую ошибку — например, перепутанный знак реакции, который «согласованно» разъедется по всем узлам. Против неё работает другой контроль: рассечь ферму и проверить равновесие целой отсечённой части.

   Секущая должна пересекать не больше трёх стержней с неизвестными усилиями. Для отсечённой части составляют те же три уравнения равновесия — суммы проекций и сумму моментов, — и они обязаны сойтись независимо от того, как считались узлы.

   $$\sum X = 0, \qquad \sum Y = 0, \qquad \sum M_O = 0 \quad \text{для отсечённой части}$$
   $$\text{через панель: } -100{,}00\ \text{кН}, \ 85{,}00\ \text{кН}, \ -33{,}54\ \text{кН}$$
   Нижний пояс в сечении

   85,00 кН

   Два независимых контроля — по узлам и по сечению — дают одно и то же. Расчёт можно сдавать.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Фермы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 2.

• Путают направление усилия при вырезании узла

  Растянутый стержень тянет узел К СЕБЕ, то есть вдоль стержня наружу от узла. Перепутав знак у одного −78,26 кН, вы получите невязку в этом узле и во всех следующих.

• Проверяют реакции тем же уравнением, каким их нашли

  Сумма моментов относительно левой опоры дала правую реакцию — проверять надо суммой относительно ПРАВОЙ. Иначе вы просто повторите то же вычисление и получите тот же ответ, верный он или нет.

• Считают невязку 1e-12 ошибкой

  0,000000000 кН — это точность двоичной арифметики, а не неравновесие. Настоящая ошибка даёт невязку в единицы кН при усилиях порядка −100,00 кН.

• Проверяют только те узлы, что считали последними

  Ошибка обычно в начале обхода: опорный узел задаёт всю цепочку. Проверять надо все 9 узлов, а начинать — с первого.