Растяжение и сжатие: решение задач

С растяжения-сжатия начинается курс, и не случайно: здесь виден весь метод сопромата в чистом виде. Одно внутреннее усилие, одна формула напряжения, одна формула деформации — и на этом маленьком примере отрабатывается логика, которая потом переносится на изгиб и кручение.

Типовая задача — ступенчатый брус с несколькими силами. От вас требуют эпюру продольных сил, эпюру напряжений, перемещение конца и проверку прочности; иногда добавляют подбор площади или защемление с двух сторон.

Как опознать задачу по условию. Свободный конец и силы по длине — статически определимый брус, хватает одного уравнения равновесия. «Защемлён обоими концами» или «между двумя стенками» — неопределимая задача, нужна совместность деформаций. «Абсолютно жёсткий брус поддерживается стержнями» — усилия в стержнях из равновесия бруса, а при трёх стержнях ещё и из картины перемещений. «Зазор», «нагрели на Δt», «стержень изготовлен короче» — температурные и монтажные напряжения: нагрузки может не быть вовсе, а напряжения есть.

Что нужно сделать

Четыре действия, и третье из них — то, на котором чаще всего спотыкаются.

  1. 1

    Построить эпюру продольных сил

    Считать удобнее со свободного конца: там нет реакции. Под каждой силой эпюра делает скачок на её величину, между силами идёт горизонталью.

  2. 2

    Посчитать напряжения по участкам

    Напряжение — сила, делённая на площадь. У ступенчатого бруса площади разные, поэтому эпюра напряжений не повторяет эпюру сил: это две разные картинки.

  3. 3

    Найти опасный участок по напряжению, а не по силе

    Тут и прячется главная ошибка раздела. Участок с меньшей силой, но тонким сечением легко оказывается опаснее: решает отношение, а не числитель.

  4. 4

    Посчитать перемещение и проверить прочность

    Удлинения участков складываются со знаками: растянутый удлиняется, сжатый укорачивается. Наибольшее напряжение сравнивают с допускаемым — для хрупких материалов отдельно на растяжение и на сжатие.

  5. 5

    Если концы закреплены — дописать совместность

    Когда реакций больше, чем уравнений, недостающее уравнение даёт геометрия: полное удлинение бруса между стенками равно нулю (или зазору), у жёсткого бруса перемещения точек крепления стержней лежат на одной прямой. Его пишут до чисел — по схеме деформаций.

Чем считать

Калькулятор растяжения-сжатия считает ступенчатый брус, внецентренное сжатие и жёсткий брус на стержнях.

Растяжение-сжатиеРасчёт ступенчатого стержняСеченияРасчёт геометрических характеристик

Готовые разборы по теме

Пять разборов: от простого удлинения до статически неопределимого бруса, где нужна совместность деформаций.

Как построить эпюры N, σ и перемещений для ступенчатого брусаРастяжение-сжатиеКак посчитать удлинение бруса при растяженииРастяжение-сжатиеКак подобрать площадь сечения бруса по условию прочностиРастяжение-сжатиеКак раскрыть статическую неопределимость брусаРастяжение-сжатиеКак найти нейтральную линию при внецентренном сжатииРастяжение-сжатие

Разобраться в теории

Правило знаков, допускаемые напряжения и — для сжатых стержней — гибкость, о которой в этом разделе часто забывают.

Эпюра продольных сил: как строитьПродольная сила в сечении равна алгебраической сумме внешних сил по одну сторону от него. Растяжение считают п…Допускаемые напряжения и запас прочностиДопускаемое напряжение — это опасное для материала напряжение, делённое на коэффициент запаса. Для пластичных …Радиус инерции и гибкость стержняРадиус инерции i = √(I / A) — корень из отношения момента инерции сечения к его площади; измеряется в миллимет…

Если нужно объяснение, а не расчёт

ФормулыШпаргалка по всем задачам ядра — с обозначениями и версией для печати.ИИ-репетитор бетаОбъяснит теорию по учебникам из базы знаний: спросите про эпюры, моменты инерции, опасное сечение.

Не нашли нужный расчёт?

Курсовая по пособию вуза, нестандартная схема, задача не из этого списка — оставьте заявку, разберёмся и напишем.

Частые вопросы

Почему у меня опасным вышел не тот участок, где сила больше?

Так и должно быть, если у него больше площадь. Прочность определяет напряжение — отношение силы к площади. Проверять надо эпюру напряжений, а не эпюру продольных сил.

Эпюра продольных сил →
Брус защемлён с двух сторон. Реакций две, уравнение одно.

Это статически неопределимая задача. Недостающее уравнение даёт деформация: суммарное удлинение бруса равно нулю, ведь оба конца закреплены. Отсюда и находится вторая реакция.

Неопределимый брус →
Надо ли проверять сжатый стержень на устойчивость?

Если он длинный и тонкий — обязательно. Потеря устойчивости происходит при напряжении заметно ниже допускаемого, и расчёт только на прочность даёт опасно оптимистичный результат. Ориентир — гибкость.

Жёсткий брус на трёх стержнях — с чего начать?

С двух вещей. Уравнения равновесия бруса дают связь между усилиями в стержнях, но при трёх стержнях их не хватает. Второе — схема перемещений: брус жёсткий и поворачивается вокруг шарнира, поэтому удлинения стержней пропорциональны расстояниям до него. Калькулятор считает такую систему отдельной вкладкой — с ходом решения и подбором сечений.

Жёсткий брус на стержнях →