Ядро сечения: что это и как построить

Коротко. Ядро сечения — область вокруг центра тяжести: пока сжимающая сила приложена внутри неё, сжато всё сечение и растяжения нет. У прямоугольника это ромб с вершинами на расстоянии h/6 и b/6 от центра, у круга — круг вчетверо меньшего диаметра. Ядро нужно для материалов, которые плохо работают на растяжение: бетона, кладки, чугуна.

Колонна под силой, приложенной точно в центр, сжата равномерно. Сместите силу — к сжатию добавится изгиб, и с одного края напряжение уменьшится. Сместите дальше — край перейдёт в растяжение, хотя снаружи колонну по-прежнему только давят.

Граница, за которой это происходит, и есть ядро сечения. Для стали она мало что значит, а для кирпича и бетона растяжение — это трещина, поэтому в кладке и фундаментах силу стараются держать внутри ядра.

Откуда растяжение при сжатии

Внецентренная сила P с эксцентриситетами eu и ev — это центральное сжатие плюс изгиб в двух плоскостях. Напряжение в точке (u, v) складывается из трёх слагаемых, и знак у дальних от силы точек может смениться.

Нейтральная линия — где напряжение равно нулю — не проходит через центр тяжести. Её отрезки на осях обратно пропорциональны эксцентриситетам: чем дальше сила, тем ближе нейтральная линия к центру и тем глубже она заходит в сечение.

Напряжение при внецентренном сжатии
σ=−PA(1+eu uiv2+ev viu2)\sigma = -\frac{P}{A}\left(1 + \frac{e_u\,u}{i_v^2} + \frac{e_v\,v}{i_u^2}\right)
Отрезки нейтральной линии
au=−iv2eu,av=−iu2eva_u = -\frac{i_v^2}{e_u},\qquad a_v = -\frac{i_u^2}{e_v}

Как строят ядро

Нейтральную линию заставляют касаться контура сечения, не пересекая его: тогда растяжения ещё нет. По отрезкам касательной из тех же формул находят точку силы — вершину ядра. Обойдя все касательные, получают контур ядра.

У невыпуклого сечения — тавра, швеллера — касательные проводят к выпуклой оболочке: линия, задевающая вогнутость, пересекла бы контур в другом месте.

Вершина ядра по касательной
eu=−iv2au,ev=−iu2ave_u = -\frac{i_v^2}{a_u},\qquad e_v = -\frac{i_u^2}{a_v}

Прямоугольник, круг и кольцо

У прямоугольника квадрат радиуса инерции равен h²/12. Касательная по стороне отсекает h/2, и вершина ядра лежит на h/6 от центра. Четыре стороны — четыре вершины: ядро — ромб с диагоналями h/3 и b/3.

У круга все направления равноценны, i² = d²/16, и ядро — круг радиусом d/8. У кольца ядро больше: материал вынесен к краю, и радиус инерции растёт быстрее габарита.

Прямоугольник
e=i2h/2=h2/12h/2=h6e = \frac{i^2}{h/2} = \frac{h^2/12}{h/2} = \frac{h}{6}
Круг и кольцо
rя=d8,rя=D2+d28Dr_{\text{я}} = \frac{d}{8},\qquad r_{\text{я}} = \frac{D^2 + d^2}{8D}

Правило средней трети

Для стены или фундамента, нагруженных в одной плоскости, ядро прямоугольника сводится к отрезку длиной в треть стороны посередине. Отсюда правило каменщиков: равнодействующая должна проходить через среднюю треть подошвы — тогда растяжения в шве нет.

На числах

Колонна сечением 200 мм на 300 мм под силой 400 кН с эксцентриситетами 60 мм и 100 мм. Оба больше шестой доли соответствующей стороны — сила вне ядра, и в сечении появляется растяжение 18,67 МПа, хотя колонну только сжимают. Наибольшее сжатие — −32,00 МПа.

Сила
400 кН
Эксцентриситет по одной оси
60 мм
Эксцентриситет по другой оси
100 мм
Растяжение в сечении
18,67 МПа
Допускаемое на растяжение
20 МПа
Наибольшее сжатие
−32,00 МПа
Точка приложения силы лежит вне ядра — край сечения растянут
Точка приложения силы лежит вне ядра — край сечения растянут
Весь разбор целиком: Как найти нейтральную линию при внецентренном сжатии →

Где обычно ошибаются

  • Путают ядро с центром тяжести

    Ядро — не точка, а область. Сила может быть смещена от центра и при этом не вызывать растяжения, пока остаётся внутри ядра.

  • Строят ядро по габаритам, а не по радиусам инерции

    «Шестая часть стороны» верна только для прямоугольника. Для другого сечения вершины считают через квадраты радиусов инерции.

  • Ставят вершину ядра по ту же сторону, что касательную

    Знак минус в формуле не случаен: касательная к нижнему краю даёт вершину ядра над центром тяжести, а не под ним.

  • Проводят касательные к вогнутому контуру

    У тавра и швеллера касательная должна касаться выпуклой оболочки сечения, иначе ядро выйдет больше настоящего.

Частые вопросы

Почему у прямоугольника ядро — ромб?

Вершины ядра лежат на осях симметрии, на шестой доле стороны от центра. Между вершинами нейтральная линия поворачивается вокруг угла сечения, а точка силы при этом идёт по прямой — получается ромб.

Зачем ядро сечения в строительстве?

Кладка, бетон и грунт под фундаментом почти не держат растяжения. Если сила внутри ядра, сечение сжато целиком и не раскрывается.

Как посчитать внецентренное сжатие своей колонны?

Нужны площадь, радиусы инерции и эксцентриситеты — дальше напряжения в углах и положение нейтральной линии.

Внецентренное сжатие онлайн →

Непонятно? Спросите Репетитора

Объяснит простыми словами, но по учебникам — и покажет, из какой книги ответ. Ничего от себя: если в книгах этого нет, так и скажет. Нажмите вопрос — он откроется в чате.

Объясни простыми словами: ядро сеченияПочему у прямоугольника ядро — ромб?Зачем ядро сечения в строительстве?Как посчитать внецентренное сжатие своей колонны?
Как работает Репетитор по сопромату

Попробовать на своей задаче

Растяжение-сжатие — считать онлайн

Рядом по теме