Коэффициент Пуассона: что это и чему равен
Коэффициент Пуассона ν — отношение поперечной деформации стержня к продольной, взятое по модулю. Растянутый брус не только удлиняется, но и становится тоньше, и ν говорит, во сколько раз сужение меньше удлинения. У стали он около 0,3, у резины близок к 0,5.
Растяните резинку — она заметно истончится. Сталь делает то же самое, только на глаз этого не видно: деформации в тысячные доли. Коэффициент Пуассона — мера этого эффекта.
Вместе с модулем упругости он полностью описывает упругий материал: зная E и ν, можно найти и модуль сдвига G, и изменение объёма, и деформации в любом направлении.
Определение
Продольная деформация ε — относительное удлинение вдоль оси. Поперечная ε′ — относительное изменение поперечного размера. При растяжении ε положительна, а ε′ отрицательна: стержень тоньшает. Отношение их модулей и есть ν.
Величина безразмерная и для данного материала постоянная, пока он работает упруго, то есть до предела пропорциональности.
Почему не больше 0,5
При растяжении объём элемента меняется на величину, пропорциональную 1 − 2ν. Если бы ν превысил 0,5, растянутый стержень уменьшался бы в объёме — для однородного упругого материала это невозможно.
Значение ровно 0,5 означает несжимаемый материал: объём не меняется совсем. Так ведут себя резина и, приближённо, металл в пластической стадии. Ноль — материал без поперечной деформации, как пробка: поэтому её и загоняют в горлышко.
Значения для материалов
Сталь — около 0,25–0,3, в расчётах обычно берут 0,3. Алюминиевые сплавы и медь — около 0,33. Чугун — 0,23–0,27. Бетон — 0,1–0,2. Резина — почти 0,5. Пробка — около нуля.
Для учебных задач важно одно: если ν в условии не задан, для стали принимают 0,3, и это не ошибка, а общепринятое значение.
Связь с модулем сдвига
Для изотропного материала модуль упругости E, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона не независимы. Зная два, третий находят по формуле ниже — так в задачах на кручение получают G стали из её E.
На числах
Брус из стали с модулем 200000 МПа: наибольшее напряжение 150,0 МПа, полное удлинение 2,2083 мм. Поперечное сужение сечения в ν раз меньше продольной деформации и противоположно ей по знаку.
Где обычно ошибаются
Берут отношение без модуля и получают минус
Поперечная и продольная деформации всегда разных знаков, поэтому ν определяют по модулю. Отрицательный коэффициент Пуассона — признак ошибки в знаке, а не экзотического материала.
Путают ν с относительным сужением после разрыва
Относительное сужение ψ из испытания на разрыв — характеристика пластичности, она измеряется в процентах и к ν отношения не имеет.
Считают, что сечение при растяжении не меняется
Меняется, и именно на ν·ε. В обычных расчётах напряжений этим пренебрегают — площадь берут исходной, — но в задачах на посадки и на изменение диаметра эффект нужен явно.
Частые вопросы
Чему равен коэффициент Пуассона стали?
От 0,25 до 0,3; в учебных и инженерных расчётах принимают 0,3, если в условии не сказано иное.
Может ли коэффициент Пуассона быть больше 0,5?
Для однородного изотропного упругого материала — нет: иначе растянутый стержень уменьшался бы в объёме. Встречаются только особые структуры — пены и метаматериалы.
Как ν связан с модулем упругости?
Через модуль сдвига: G = E / (2(1 + ν)). Три постоянные изотропного материала связаны, и любую можно найти по двум другим.
Модуль упругости →