Кручение вала онлайн: ступенчатый стержень

Распределённый крутящий момент — тот случай, когда эпюра M_к перестаёт быть ступенчатой и становится наклонной: модуль аккуратно ведёт оба типа участков и показывает, где именно меняется закон.

Кроме обычного числового расчёта есть режим «в общем виде»: длины — долями L, моменты — долями M, диаметры — долями d, и ответы выходят точными дробями вида φ = −3/8·mL²/(G·J_ρ). Это формат теоретических задачников, где требуется буквенный ответ, — калькулятор ведёт дроби точно, без десятичных округлений.

После эпюр модуль делает то, ради чего они строились:

• проверка прочности: τ_max против допускаемого [τ] с запасом в процентах;
• проверка жёсткости: θ_max против [θ] в градусах на метр;
• подбор диаметра из обоих условий — аналитически и по сортаменту, с округлением до стандартного ряда;
• энергия деформации с проверкой по теореме Клапейрона — работа моментов обязана сойтись с накопленной энергией;
• статически неопределимые валы — защемление с двух концов — решаются автоматически, с уравнением совместности поворотов.

В жёсткость входит модуль сдвига G — для стали это примерно 8·10⁴ МПа, и именно он стоит в знаменателе углов закручивания: ошибка в G на порядок даёт углы, в десять раз отличающиеся от разумных. Форма ввода подсказывает типичные значения, а в ходе решения единицы протянуты через каждую формулу: моменты в кН·м переводятся в Н·мм там, где диаметры в миллиметрах, и этот переход выписан явно — обычно именно на нём теряется три порядка. Углы выводятся и в радианах, и в градусах: сверить с допускаемым [θ] в °/м можно без калькулятора в руках.

Вся классическая теория кручения выведена для круга и кольца, и держится она на одном допущении: плоские сечения при закручивании остаются плоскими. У круга это выполняется точно — сечение поворачивается как жёсткий диск, ничего не коробится. Отсюда и простые формулы: касательное напряжение растёт линейно от центра к поверхности, угол закручивания пропорционален моменту.

У любого некруглого сечения плоскость нарушается: сечение депланирует, то есть выпучивается из своей плоскости волной. Формулы с полярным моментом инерции для него неверны, причём неверны заметно, а не на проценты. Прямоугольный вал считают по таблицам с коэффициентами, зависящими от отношения сторон, тонкостенный открытый профиль — по своим формулам, замкнутый — по формуле Бредта.

• круг и кольцо: точные формулы, наибольшее напряжение на поверхности;
• прямоугольник: табличные коэффициенты, максимум — в середине ДЛИННОЙ стороны, а не в углу;
• замкнутый тонкостенный профиль (труба, короб): формула Бредта, работает вся стенка;
• открытый тонкостенный (швеллер, двутавр): сопротивление кручению мало на порядки — такие профили на кручение не ставят.

Разница между замкнутым и открытым профилем настолько велика, что её стоит запомнить как факт: разрезанная вдоль труба сопротивляется кручению в сотни раз хуже целой при той же площади. Модуль считает круг и кольцо — то, что и требуется в курсе сопромата.

Вал проверяют дважды, и проверки эти независимы. Прочность ограничивает касательное напряжение допускаемым: момент, делённый на полярный момент сопротивления. Жёсткость ограничивает относительный угол закручивания — сколько градусов приходится на метр длины.

Какая из проверок окажется решающей, заранее не видно. У короткого нагруженного вала обычно прочность, у длинного трансмиссионного — жёсткость: он выдержит момент, но закрутится так, что нарушится точность передачи. Поэтому диаметр подбирают по обоим условиям и берут БОЛЬШИЙ из двух — модуль считает оба и показывает, какое сработало.

Обратите внимание на степени: момент сопротивления растёт как диаметр в третьей степени, а момент инерции — в четвёртой. Значит, увеличение диаметра помогает жёсткости сильнее, чем прочности, и при большом запасе по напряжениям вал всё равно может не пройти по углу.

Если в задании даны мощность и обороты, а не моменты, пересчитайте их заранее: M = 9550·P/n даёт момент в Н·м при мощности в киловаттах и оборотах в минуту. Дальше задача становится обычной задачей о вале с сосредоточенными моментами — как раз той, что считается здесь.

Сечения — круглые и кольцевые: для них справедлива элементарная теория кручения с линейным распределением τ по радиусу. Некруглые профили (прямоугольник, открытые тонкостенные) требуют поправочных коэффициентов и в модуль пока не входят. Совместное действие кручения с изгибом — тема «сложное сопротивление» — тоже отдельная история; здесь вал работает на чистое кручение.