Полярный момент инерции и сопротивления

Полярный момент инерции Jp — интеграл квадратов расстояний от площадок сечения до его центра. Для круга он равен πd⁴/32 и вдвое больше осевого. Полярный момент сопротивления Wp = Jp / (d/2). Оба нужны при кручении: Wp — для напряжений, Jp — для угла закручивания.

При изгибе сечение поворачивается вокруг оси, лежащей в его плоскости, и работает осевой момент инерции. При кручении оно поворачивается вокруг оси вала — перпендикулярной сечению, — и сопротивление ему описывает полярный момент.

Именно поэтому валы делают круглыми, а часто и полыми: материал у центра почти не участвует в сопротивлении кручению, и его выгоднее убрать.

Определение и связь с осевыми

Полярный момент складывается из квадратов расстояний до центра, а квадрат расстояния — из квадратов двух координат. Поэтому он равен сумме двух осевых моментов инерции относительно любых перпендикулярных осей через тот же центр.

У круга оба осевых момента одинаковы, и полярный ровно вдвое больше каждого из них.

Определение
Jp=∫Aρ2 dA=Jx+JyJ_{p} = \int_{A}\rho^{2}\,dA = J_{x} + J_{y}

Круг и кольцо

Для кольца из момента сплошного круга по наружному диаметру вычитают момент «дырки». Удобно записывать через отношение диаметров α = d / D.

Полярный момент сопротивления — полярный момент, делённый на наибольшее расстояние до центра, то есть на наружный радиус.

Сплошной круг
Jp=πd432,Wp=πd316J_{p} = \frac{\pi d^{4}}{32}, \qquad W_{p} = \frac{\pi d^{3}}{16}
Кольцо
Jp=πD432 (1−α4),Wp=πD316 (1−α4)J_{p} = \frac{\pi D^{4}}{32}\,(1 - \alpha^{4}), \qquad W_{p} = \frac{\pi D^{3}}{16}\,(1 - \alpha^{4})

Где они работают

Наибольшее касательное напряжение в валу — крутящий момент, делённый на Wp: так проверяют прочность. Угол закручивания пропорционален моменту и длине и обратно пропорционален жёсткости G·Jp: так проверяют жёсткость.

Прочность при кручении
τmax⁡=MкWp≤[τ]\tau_{\max} = \frac{M_{\text{к}}}{W_{p}} \le [\tau]
Угол закручивания
φ=Mк lG Jp\varphi = \frac{M_{\text{к}}\,l}{G\,J_{p}}

Только для круглых сечений

Формулы τ = Mк / Wp и φ = Mк·l / (G·Jp) выведены для круга и кольца: там сечения при кручении остаются плоскими. У прямоугольника сечение коробится, и вместо Jp стоят другие геометрические характеристики с табличными коэффициентами.

На числах

Кольцо с наружным диаметром 60 мм и внутренним 40 мм: полярный момент 1021018 мм⁴ — ровно вдвое больше осевого 510509 мм⁴. Сплошной круг того же наружного диаметра имеет осевой момент 636173 мм⁴, хотя площадь у него почти вдвое больше.

Отношение диаметров α
0,667
Полярный момент инерции
1021018 мм⁴
Полярный момент сопротивления
34034 мм³
Площадь кольца
1570,80 мм²
Кольцевое сечение: материал вынесен туда, где он работает
Кольцевое сечение: материал вынесен туда, где он работает
Весь разбор целиком: Почему у кольца момент сопротивления почти как у круга →

Где обычно ошибаются

  • Путают полярный момент с осевым

    Для круга они различаются ровно вдвое: здесь осевой 510509 мм⁴, полярный 1021018 мм⁴. Подставив осевой в формулу угла закручивания, получите угол вдвое больше верного.

  • Для кольца вычитают моменты сопротивления

    Вычитать можно моменты инерции — они складываются по площади. Моменты сопротивления так не вычитаются: Wp кольца считают из его Jp, делённого на наружный радиус.

  • Применяют Jp к прямоугольному сечению

    Формулы с полярным моментом верны только для круга и кольца. У прямоугольного стержня при кручении нужна своя методика с табличными коэффициентами.

Частые вопросы

Чем полярный момент инерции отличается от осевого?

Осевой считают относительно оси в плоскости сечения — он нужен при изгибе. Полярный — относительно точки, центра сечения, — он нужен при кручении. Полярный равен сумме двух осевых.

Что такое момент инерции →
Почему валы делают полыми?

Касательные напряжения при кручении растут от центра к поверхности, и материал у оси почти не работает. Убрав его, теряют немного жёсткости, а в массе выигрывают заметно.

Кручение вала онлайн →
В чём измеряется полярный момент инерции?

В единицах длины в четвёртой степени — мм⁴ или см⁴. Полярный момент сопротивления — в третьей степени.

Попробовать на своей задаче

Кручение — считать онлайн

Рядом по теме