Момент инерции кольца

1. 1

   Оси, коэффициент пустотелости

   Начало отсчёта — центр кольца. Через него проходит и ось y, и ось z, так что обе центральные. Как и у круга, их направление безразлично: фигура осесимметрична.

   Коэффициент пустотелости α — это отношение внутреннего диаметра к наружному. Через него все формулы кольца получают вид «формула круга, умноженная на скобку». Чем ближе α к единице, тем тоньше стенка.

   $$\alpha = \frac{d}{D}$$
   $$\alpha = \frac{40}{60} = 0{,}667$$
   Коэффициент пустотелости

   0,667

   α = 0,667. Внутренний диаметр составляет две трети наружного — стенка получается довольно толстой.

2. 2

   Площадь: разность двух кругов

   Площадь кольца — это площадь наружного круга минус площадь внутреннего. Вычитать можно потому, что площадь аддитивна: отверстие просто убирает свою долю.

   Тот же приём работает и для моментов инерции — они тоже интегралы по площади. А вот радиус инерции так вычитать нельзя, о чём предупредим отдельно.

   $$F = \frac{\pi D^{2}}{4}\left(1 - \alpha^{2}\right)$$
   $$F = 1570{,}80\ \text{мм²} \quad \text{против} \quad 2827{,}43\ \text{мм²} \ \text{у сплошного}$$
   Площадь кольца

   1570,80 мм²

   Площадь сплошного круга

   2827,43 мм²

   1570,80 мм² против 2827,43 мм² у сплошного круга того же диаметра: убрали почти половину материала.

3. 3

   Моменты инерции и главный вывод

   Момент инерции считаем так же — разностью. В записи через α скобка получается с четвёртой степенью, и вот тут начинается самое интересное: материал убран из середины, где расстояние до оси мало, а вклад идёт с квадратом расстояния.

   Сравните две потери. Площади мы лишились почти наполовину, а момента инерции — заметно меньше. Отношение жёсткости к массе у трубы поэтому выше, и на этом стоит вся конструкция велосипедных рам, стоек и авиационных лонжеронов.

   $$I = \frac{\pi D^{4}}{64}\left(1 - \alpha^{4}\right); \qquad I_\rho = 2\,I$$
   $$I = 510509\ \text{мм⁴} \quad \text{против} \quad 636173\ \text{мм⁴}; \qquad I_\rho = 1021018\ \text{мм⁴}$$
   Осевой момент кольца

   510509 мм⁴

   У сплошного круга

   636173 мм⁴

   Полярный момент

   1021018 мм⁴

   510509 мм⁴ у кольца против 636173 мм⁴ у сплошного круга — потеряли около пятой части жёсткости, отдав почти половину площади. Полярный момент 1021018 мм⁴, как обычно, вдвое больше осевого.

4. 4

   Момент сопротивления и радиус инерции

   Момент сопротивления делим на расстояние до крайнего волокна — это по-прежнему наружный радиус, ведь именно там напряжения максимальны. Внутренняя поверхность нагружена меньше, и в проверку прочности она не входит.

   Радиус инерции считается только из итоговых I и F — по определению, а не вычитанием радиусов сплошного и внутреннего кругов. У кольца он заметно больше, чем у сплошного круга той же площади, и это ещё один аргумент в пользу трубы при расчёте на устойчивость.

   $$W = \frac{\pi D^{3}}{32}\left(1 - \alpha^{4}\right); \qquad i = \sqrt{\frac{I}{F}}$$
   $$W = 17017\ \text{мм³}; \qquad W_\rho = 34034\ \text{мм³}; \qquad i = 18{,}03\ \text{мм}$$
   Момент сопротивления

   17017 мм³

   Полярный момент сопротивления

   34034 мм³

   Радиус инерции

   18,03 мм

   Осевой момент сопротивления 17017 мм³, полярный 34034 мм³, радиус инерции 18,03 мм — против 15 мм у сплошного круга такой же площади.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §3.2.

• Вычитают радиусы инерции

  Аддитивны только площади и моменты инерции. Радиус инерции — производная величина, корень из отношения: сначала находят итоговые 510509 мм⁴ и 1570,80 мм², и только потом делят. Разность радиусов сплошных кругов даст бессмысленное число.

• Берут в момент сопротивления внутренний радиус

  Делить надо на расстояние до самой удалённой точки, то есть на наружный радиус. Внутренняя поверхность ближе к оси и напряжена слабее — она в проверке прочности не участвует.

• Путают степени в скобках

  В площади стоит (1 − α²), в моменте инерции (1 − α⁴). Перепутав их местами, получают вместо 510509 мм⁴ заметно другое число, причём правдоподобное на вид — ошибку легко не заметить.

• Считают α как отношение толщины стенки к диаметру

  α — это отношение диаметров, 40 мм к 60 мм, то есть 0,667. Толщина стенки связана с ними как t = (D − d)/2, но в формулы кольца входит не она.