Эпюра крутящих моментов

1. 1

   Ось z и реактивный момент в заделке

   Ось z ведём вдоль вала слева направо, начало отсчёта — в заделке. Все координаты сечений ниже даны от неё, и обозначение z по ходу разбора не меняется.

   Вал статически определим: неизвестная одна — реактивный момент заделки. Находим его из единственного уравнения равновесия: сумма всех моментов относительно оси вала равна нулю.

   $$\sum M_z = 0: \quad M_{\text{з}} + T_1 + T_2 + T_3 = 0$$
   $$M_{\text{з}} = -\left(2{,}0 + -3{,}5 + 1{,}0\right) = 0{,}50\ \text{кН·м}$$
   Момент в заделке

   0,50 кН·м

   Реактивный момент 0,50 кН·м. Знак плюс означает, что заделка закручивает вал в ту же сторону, что и положительные внешние моменты.

2. 2

   Метод сечений: разрезаем вал на участках

   Границы участков — там, где приложены внешние моменты: на каждой такой границе эпюра прыгнет. Между границами крутящий момент постоянен, потому что распределённой нагрузки на валу нет.

   Разрезаем вал в произвольном сечении участка, отбрасываем правую часть и записываем момент как алгебраическую сумму всех внешних моментов, оставшихся слева. Момент считаем положительным, если, глядя со стороны отброшенной части, он вращает сечение против часовой стрелки.

   $$M_{\text{к}}(z) = \sum_{\text{слева от сечения}} T_i$$
   $$M_{\text{к}}^{(1)} = -0{,}50\ \text{кН·м}; \quad M_{\text{к}}^{(2)} = -2{,}50\ \text{кН·м}; \quad M_{\text{к}}^{(3)} = 1{,}00\ \text{кН·м}$$
   Участок 1

   −0,50 кН·м

   Участок 2

   −2,50 кН·м

   Участок 3

   1,00 кН·м

   Три ступеньки: −0,50 кН·м, −2,50 кН·м и 1,00 кН·м. Наибольший по модулю — на втором участке.

3. 3

   Проверка эпюры по скачкам

   Эпюра проверяется, не решая задачу заново. Скачок на границе двух участков обязан равняться приложенному там внешнему моменту, а на свободном правом торце эпюра обязана обратиться в ноль.

   Пройдитесь по границам слева направо и сравните разности ступенек с заданными моментами. Если хоть одна не сошлась — ошибка в знаке, и искать её нужно там, а не в дальнейших вычислениях.

   $$M_{\text{к}}^{(i+1)} - M_{\text{к}}^{(i)} = -T_i$$
   $$-2{,}50\ \text{кН·м} - -0{,}50\ \text{кН·м} = -2{,}0; \qquad 1{,}00\ \text{кН·м} - -2{,}50\ \text{кН·м} = --3{,}5$$

   Обе разности совпали с приложенными моментами, а за третьим шкивом эпюра обнуляется. Значит эпюра построена верно.

4. 4

   Опасное сечение и напряжения

   Диаметр по всей длине один, поэтому опасен тот участок, где крутящий момент наибольший по модулю, — второй. При переменном диаметре так рассуждать было бы нельзя.

   Касательное напряжение считается через полярный момент сопротивления. Для сплошного круга он равен πD³/16 и для нашего диаметра составляет 42412 мм³.

   $$W_\rho = \frac{\pi D^{3}}{16}; \qquad \tau_{max} = \frac{\left|M_{\text{к}}\right|_{max}}{W_\rho}$$
   $$W_\rho = \frac{\pi \cdot 60^{3}}{16} = 42412\ \text{мм³}; \qquad \tau_{max} = \frac{2{,}50}{42412} = 58{,}9\ \text{МПа}$$
   Момент сопротивления

   42412 мм³

   Наибольшее напряжение

   58,9 МПа

   Запас прочности

   26,3 %

   Наибольшее касательное напряжение 58,9 МПа при допускаемом 80 МПа — прочность обеспечена с запасом 26,3 %.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Кручение», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §2.9.

• Начинают строить эпюру, не найдя реакцию заделки

  Тогда первый участок остаётся пустым, а вся эпюра съезжает на 0,50 кН·м. Проверить легко: со стороны заделки эпюра обязана начинаться с реактивного момента, а не с нуля.

• Складывают моменты, приложенные справа от сечения, с моментами слева

  Берут одну сторону — любую, но одну. Здесь удобнее левая: там только заделка и уже пройденные шкивы.

• Соединяют ступеньки наклонной линией

  Между шкивами момент не меняется, эпюра строго горизонтальна, а на шкиве — вертикальный скачок. Наклон появился бы только от распределённого момента, которого в этой схеме нет.

• Ищут опасное сечение по величине внешнего момента

  Наибольший внешний момент здесь −3,5 кН·м, а наибольший внутренний — 2,50 кН·м: они разные, потому что внутренний накапливает всё, что приложено слева.