Расчёт вала на прочность и жёсткость

1. 1

   Реактивный момент и эпюра M_к

   Ось z ведём от заделки вправо. Вал держится одной заделкой, значит её реактивный момент уравновешивает сумму всех приложенных — это единственное уравнение статики, которое здесь есть.

   Крутящий момент в сечении равен сумме моментов по одну сторону от него. Считаем справа: там слагаемых меньше, а ось при этом остаётся прежней — меняется только сторона суммирования.

   $$M_A = \sum T_i; \qquad M_{\text{к}}(z) = \sum_{z_i > z} T_i$$
   $$M_A = 1{,}6 + 1{,}1 + 0{,}8 = 3{,}50\ \text{кН·м}$$
   Реактивный момент

   3,50 кН·м

   Расчётный момент

   3,50 кН·м

   Эпюра ступенчатая: 3,50 кН·м на первом участке, 1,90 кН·м на втором, 0,80 кН·м на третьем. Расчётным будет наибольший — 3,50 кН·м у заделки.

2. 2

   Диаметр из условия прочности

   Условие прочности при кручении связывает наибольший момент, полярный момент сопротивления и допускаемое напряжение. Для круга W_p выражается через диаметр, поэтому диаметр находится в одно действие — через кубический корень.

   Заметьте степень: диаметр входит в W_p в третьей степени. Значит ошибка в моменте вдвое изменит диаметр всего на четверть — кручение прощает неточность в нагрузке гораздо охотнее, чем изгиб.

   $$W_p = \frac{\pi D^{3}}{16} \ge \frac{M_{\text{к}}}{[\tau]} \;\Rightarrow\; D \ge \sqrt[3]{\frac{16\,M_{\text{к}}}{\pi\,[\tau]}}$$
   $$W_p \ge \frac{3{,}50 \cdot 10^{6}}{25} = 140000\ \text{мм³} \;\Rightarrow\; D \ge 89{,}3\ \text{мм}$$
   D из прочности

   89,3 мм

   Из прочности требуется 89,3 мм.

3. 3

   Диаметр из условия жёсткости

   Второе условие ограничивает не напряжение, а погонный угол закручивания — сколько градусов вал проворачивается на каждом метре длины. Для валов приводов это существенно: перекрутившийся вал сбивает фазу механизма и разбивает шпоночные соединения.

   Здесь диаметр входит уже в ЧЕТВЁРТОЙ степени — через полярный момент инерции. Поэтому жёсткость набирается диаметром быстрее, чем прочность, и на длинных валах обычно она и оказывается решающей.

   $$\theta = \frac{M_{\text{к}}}{G\,J_p} \le [\theta], \qquad J_p = \frac{\pi D^{4}}{32}$$
   $$D \ge \sqrt[4]{\frac{32\,M_{\text{к}}}{\pi\,G\,[\theta]}} = 84{,}5\ \text{мм}$$
   D из жёсткости

   84,5 мм

   Из жёсткости требуется 84,5 мм — меньше, чем из прочности. Значит определяющим здесь оказалось условие прочности.

4. 4

   Принятый диаметр

   Из двух требуемых берём БОЛЬШИЙ — только он удовлетворяет обоим условиям сразу. Меньший оставил бы одно из них невыполненным, и проверка это тут же покажет.

   Полученное число округляем вверх до нормального линейного размера: валы точат под стандартные подшипники и шпонки, а не под расчётное значение с сотыми долями миллиметра. Вверх — потому что вниз означает невыполненное условие.

   $$D_{\text{треб}} = \max\left(D_{[\tau]},\; D_{[\theta]}\right)$$
   $$D_{\text{треб}} = \max\left(89{,}3;\ 84{,}5\right) = 89{,}3\ \text{мм} \;\Rightarrow\; D = 90\ \text{мм}$$
   Принятый диаметр

   90 мм

   Принимаем 90 мм. Для него W_p = 143139 мм³, J_p = 6441247 мм⁴ — с этими числами и идём в проверку.

5. 5

   Проверка принятого сечения

   Округление увеличило диаметр, значит оба условия должны выполняться с запасом. Проверка обязательна не ради формальности: она ловит промах в переводе единиц, а он в кручении — самая частая ошибка, потому что момент в кН·м, а напряжение в МПа.

   Напряжение легло почти вплотную к допускаемому — запас всего 2,2 %, ведь именно прочность диаметр и определила. Погонный угол при этом имеет запас 22,2 %.

   $$\tau_{max} = \frac{M_{\text{к}}}{W_p} \le [\tau]; \qquad \theta_{max} = \frac{M_{\text{к}}}{G\,J_p} \le [\theta]$$
   $$\begin{aligned} \tau_{max} &= \frac{3{,}50 \cdot 10^{6}}{143139} = 24{,}5\ \text{МПа} \le 25 \\ \theta_{max} &= 0{,}389\ \text{град/м} \le 0{,}5 \end{aligned}$$
   Наибольшее напряжение

   24,5 МПа

   Наибольший погонный угол

   0,389 град/м

   24,5 МПа против 25 МПа и 0,389 град/м против 0,5 град/м — оба условия выполнены. Диаметр 90 мм принимается окончательно.

6. 6

   Полный угол закручивания

   Погонный угол — характеристика участка, а заказчику механизма нужен угол между крайними сечениями. Он складывается из вкладов участков: на каждом угол равен погонному, умноженному на длину.

   Вклады неодинаковы, и не потому, что участки разной длины: момент падает от заделки к концу ступеньками, а с ним падает и закручивание. Первый участок даёт 0,233 град, к концу второго накапливается 0,424 град.

   $$\varphi = \sum_i \frac{M_{\text{к},i}\, l_i}{G\,J_p}$$
   $$\varphi = 0{,}233\ \text{град} + \ldots = 0{,}468\ \text{град}$$
   Полный угол закручивания

   0,468 град

   Свободный конец повёрнут относительно заделки на 0,468 град. Для вала длиной 2,0 м это немного — вал вышел жёстким.

7. 7

   Сколько экономит полый вал

   При кручении напряжения растут от оси к поверхности линейно: у центра материал почти не нагружен, а массу и стоимость несёт полную. Отсюда вопрос, который в РГР задают отдельным пунктом: что будет, если сделать вал полым.

   Подбираем кольцевое сечение с тем же отношением c = 0,7 и теми же допускаемыми величинами. Наружный диаметр вырастет до 98 мм, внутренний 68,6 мм — зато площадь упадёт.

   $$W_p = \frac{\pi D^{3}}{16}\left(1 - c^{4}\right), \qquad c = \frac{d}{D}$$
   $$A_{\text{полого}} = 3847\ \text{мм²} \quad\text{против}\quad A_{\text{сплошного}} = 6362\ \text{мм²}$$
   Наружный диаметр полого

   98 мм

   Экономия металла

   39,5 %

   Экономия металла 39,5 % при том же моменте и том же материале. Диаметр вырос на восемь миллиметров, масса упала почти вдвое — вот почему валы делают полыми везде, где позволяет конструкция.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Кручение», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §3.3; ГОСТ 6636 (нормальные линейные размеры).

• Берут меньший из двух требуемых диаметров

  Условия должны выполняться ОБА, поэтому нужен максимум. Возьми мы 84,5 мм вместо 89,3 мм — вал закручивался бы в норме, но напряжение вышло бы за 25 МПа.

• Округляют расчётный диаметр вниз, «до круглого»

  Требуется 89,3 мм, и любое значение меньше нарушает то условие, которое диаметр и определило. Округляют только вверх — здесь до 90 мм.

• Теряют множитель 10⁶ при переводе кН·м в Н·мм

  Момент в задании в кН·м, напряжение в МПа = Н/мм². Забыв перевод, получите 24,5 МПа с ошибкой в миллион раз — и не заметите, если не проверять принятое сечение обратной подстановкой.

• Считают полный угол закручивания по наибольшему моменту

  Угол складывается по участкам, и на каждом свой момент: 3,50 кН·м, 1,90 кН·м, 0,80 кН·м. По наибольшему на всю длину вышло бы заметно больше настоящих 0,468 град.

• Путают полярный момент сопротивления с осевым

  При кручении работает W_p = πD³/16, при изгибе — W = πD³/32, ровно вдвое меньше. Подставив изгибный в расчёт вала, получите диаметр с запасом там, где его не требуется.