Как найти угол закручивания вала

1. 1

   Откуда считаем и что известно

   Начало отсчёта — левый торец, там заделка; ось z направлена по валу вправо. Угол поворота сечения будем накапливать от заделки, поэтому в начале координат он равен нулю по определению.

   Момент в заделке находим из равновесия: он уравновешивает равнодействующую распределённого момента и сосредоточенный момент на торце.

   $$M_{\text{з}} = -\left(m L_1 + T\right)$$
   $$M_{\text{з}} = -\left(1{,}5 \cdot 0{,}8 + 0{,}6\right) = -1{,}80\ \text{кН·м}$$
   Момент в заделке

   −1,80 кН·м

   Момент в заделке −1,80 кН·м, крутящий момент у самой заделки 1,80 кН·м.

2. 2

   Геометрические характеристики сечения

   В расчёте на прочность работает полярный момент сопротивления, в расчёте на жёсткость — полярный момент инерции. Это разные величины и разные размерности, путать их нельзя.

   Произведение G·J_ρ называют жёсткостью сечения при кручении: чем оно больше, тем меньше вал закручивается под тем же моментом.

   $$J_\rho = \frac{\pi D^{4}}{32}; \qquad W_\rho = \frac{\pi D^{3}}{16}$$
   $$J_\rho = \frac{\pi \cdot 50^{4}}{32} = 613592\ \text{мм⁴}; \qquad W_\rho = 24544\ \text{мм³}$$
   Полярный момент инерции

   613592 мм⁴

   Полярный момент сопротивления

   24544 мм³

   Полярный момент инерции 613592 мм⁴, момент сопротивления 24544 мм³.

3. 3

   Погонный угол закручивания

   Погонный угол — это угол, на который поворачиваются друг относительно друга два сечения, отстоящих на единицу длины. Величина местная: она меняется вслед за крутящим моментом.

   На первом участке момент падает от 1,80 кН·м у заделки до 0,60 кН·м на стыке — значит и погонный угол падает от 2,101 град/м до значения второго участка. На втором участке он постоянен и равен 0,700 град/м.

   $$\theta = \frac{M_{\text{к}}}{G J_\rho}$$
   $$\theta_{max} = \frac{1{,}80}{80000 \cdot 613592} = 2{,}101\ \text{град/м}$$
   θ у заделки

   2,101 град/м

   θ на втором участке

   0,700 град/м

   Наибольший погонный угол 2,101 град/м у заделки при допускаемом 2,5 град/м — жёсткость обеспечена.

4. 4

   Угол поворота сечений: интегрируем

   Полный угол поворота сечения — это накопленный погонный угол, то есть интеграл θ по длине от заделки до нужного сечения. Там, где момент постоянен, интеграл вырождается в произведение; там, где он линеен, берётся площадь трапеции.

   На первом участке момент линеен, поэтому вклад равен средней величине на длину. На втором момент постоянен, и приращение получается простым умножением.

   $$\varphi(z) = \int_0^{z} \frac{M_{\text{к}}\,dz}{G J_\rho}$$
   $$\varphi_1 = 1{,}121\ \text{град}; \qquad \Delta\varphi_2 = 0{,}840\ \text{град}; \qquad \varphi_{\text{торца}} = 1{,}121\ \text{град} + 0{,}840\ \text{град} = 1{,}961\ \text{град}$$
   Угол на стыке

   1,121 град

   Угол торца

   1,961 град

   Сечение на стыке повернулось на 1,121 град, правый торец — на 1,961 град. Углы складываются нарастающим итогом, потому что каждое следующее сечение поворачивается вместе с предыдущим и вдобавок относительно него.

5. 5

   Проверка жёсткости

   Норму задают на погонный угол, а не на полный: полный зависит от длины вала и сам по себе ни о чём не говорит. Сравниваем наибольший погонный угол с допускаемым.

   Прочность здесь тоже стоит проверить: наибольшее напряжение возникает в том же сечении у заделки, где момент максимален.

   $$\theta_{max} \le [\theta]; \qquad \tau_{max} = \frac{\left|M_{\text{к}}\right|_{max}}{W_\rho} \le [\tau]$$
   $$2{,}101\ \text{град/м} \le 2{,}5\ \text{град/м}; \qquad \tau_{max} = 73{,}3\ \text{МПа}$$
   Наибольший погонный угол

   2,101 град/м

   Наибольшее напряжение

   73,3 МПа

   2,101 град/м против нормы 2,5 град/м — проходит. Напряжение 73,3 МПа тоже в пределах допускаемого.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Кручение», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Александров А. В. Сопротивление материалов, §6.2.

• Подставляют в формулу угла момент сопротивления вместо момента инерции

  24544 мм³ и 613592 мм⁴ отличаются и по величине, и по размерности: мм³ против мм⁴. Мнемоника простая: сопротивление — про прочность, инерция — про жёсткость.

• Считают угол поворота торца по максимальному моменту на всей длине

  Так вышло бы заметно больше 1,961 град: момент по длине не постоянен. Каждый участок даёт свой вклад со своим моментом.

• Сравнивают с нормой полный угол, а не погонный

  Допускаемое значение 2,5 град/м задано на метр длины. Полный угол 1,961 град с ним сравнивать бессмысленно — он тем больше, чем длиннее вал.

• Забывают перевести градусы в радианы

  Формула даёт угол в радианах, норма почти всегда записана в градусах на метр. Множитель 180/π вспоминают уже после того, как результат вышел в тысячу раз меньше ожидаемого.

• Теряют знак на участке с обратным моментом

  Если моменты на соседних участках разного знака, вал на одном участке подкручивается, а на другом раскручивается, и вклады частично гасятся. Складывать модули нельзя.