Ступенчатый вал на кручение

1. 1

   Эпюра крутящих моментов

   Ось z направлена от заделки на левом торце вправо, начало отсчёта в заделке. Границы участков совпадают со шкивами, где приложены внешние моменты, и заодно со ступенями вала.

   Момент в заделке уравновешивает сумму всех трёх внешних моментов, а дальше эпюра ступеньками спадает к свободному торцу.

   $$M_{\text{з}} = T_1 + T_2 + T_3$$
   $$M_{\text{з}} = 2{,}0 + 1{,}2 + 0{,}8 = 4{,}00\ \text{кН·м}; \qquad M_{\text{к}} = 4{,}00\ \text{кН·м};\ 2{,}00\ \text{кН·м};\ 0{,}80\ \text{кН·м}$$
   Участок 1

   4,00 кН·м

   Участок 2

   2,00 кН·м

   Участок 3

   0,80 кН·м

   Моменты по участкам 4,00 кН·м, 2,00 кН·м и 0,80 кН·м. Наибольший — у заделки, как и должно быть при односторонней нагрузке.

2. 2

   Геометрия каждой ступени

   У каждой ступени свои W_ρ и J_ρ. Разница получается резкая: диаметр входит в куб и в четвёртую степень, поэтому падение диаметра с 70 мм до 40 мм — меньше чем вдвое — уменьшает момент сопротивления более чем впятеро.

   Именно этот перекос и делает задачу интересной: момент по длине падает, но сечение слабеет быстрее.

   $$W_{\rho i} = \frac{\pi D_i^{3}}{16}; \qquad J_{\rho i} = \frac{\pi D_i^{4}}{32}$$
   $$W_{\rho 1} = 67348\ \text{мм³}; \quad W_{\rho 2} = 32668\ \text{мм³}; \quad W_{\rho 3} = 12566\ \text{мм³}$$
   W_ρ ступени 1

   67348 мм³

   W_ρ ступени 2

   32668 мм³

   W_ρ ступени 3

   12566 мм³

   Моменты сопротивления 67348 мм³, 32668 мм³ и 12566 мм³ — от первой ступени к третьей падение более чем пятикратное.

3. 3

   Напряжения: где на самом деле опасно

   Делим момент участка на момент сопротивления того же участка. Числа выходят близкие, но растут от заделки к торцу — обратно тому, как ведёт себя момент.

   Наибольшее напряжение 63,7 МПа оказалось на участке 3 — самом тонком, где крутящий момент как раз наименьший. Это и есть главный вывод страницы: при переменном сечении опасное место ищут по напряжениям, а не по эпюре M_к.

   $$\tau_i = \frac{\left|M_{\text{к}i}\right|}{W_{\rho i}}$$
   $$\tau_1 = 59{,}4\ \text{МПа}; \qquad \tau_2 = 61{,}2\ \text{МПа}; \qquad \tau_3 = 63{,}7\ \text{МПа}$$
   τ на участке 1

   59,4 МПа

   τ на участке 2

   61,2 МПа

   τ на участке 3

   63,7 МПа

   59,4 МПа, 61,2 МПа и 63,7 МПа. Максимум 63,7 МПа при допускаемом 70 МПа — прочность обеспечена, запас 9,1 %.

4. 4

   Погонные углы и проверка жёсткости

   Погонный угол считается по своему J_ρ на каждой ступени. Тут перекос ещё резче, чем у напряжений: в знаменателе четвёртая степень диаметра.

   Норму сравниваем с наибольшим погонным углом, а он снова на самой тонкой ступени.

   $$\theta_i = \frac{M_{\text{к}i}}{G J_{\rho i}}$$
   $$\theta_1 = 1{,}215\ \text{град/м}; \qquad \theta_2 = 1{,}594\ \text{град/м}; \qquad \theta_3 = 2{,}280\ \text{град/м}$$
   θ на участке 1

   1,215 град/м

   θ на участке 2

   1,594 град/м

   Наибольший θ

   2,280 град/м

   Наибольший погонный угол 2,280 град/м при норме 2,5 град/м — жёсткость обеспечена.

5. 5

   Полный угол поворота торца

   Углы участков складываются нарастающим итогом: каждое сечение поворачивается вместе со всем, что левее, плюс на свою долю. Поэтому суммировать надо приращения, а не брать максимальный участок.

   Итоговое значение показывает, насколько провернётся конец вала относительно заделки под полной нагрузкой.

   $$\varphi = \sum_i \frac{M_{\text{к}i} L_i}{G J_{\rho i}}$$
   $$\varphi_1 = 0{,}729\ \text{град}; \quad \varphi_2 = 2{,}005\ \text{град}; \quad \varphi_3 = 3{,}145\ \text{град}$$
   После ступени 1

   0,729 град

   После ступени 2

   2,005 град

   Торец

   3,145 град

   Сечения поворачиваются на 0,729 град, 2,005 град и 3,145 град — торец проворачивается почти на 3,145 град относительно заделки.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Кручение», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §2.10, §14.3.

• Ищут опасное сечение по эпюре крутящих моментов

  Здесь максимум момента на первом участке, а максимум напряжения 63,7 МПа — на третьем. При переменном сечении сравнивать надо отношения M_к/W_ρ, а не сами моменты.

• Считают весь вал по наибольшему диаметру

  Тогда напряжение вышло бы 59,4 МПа и вал показался бы куда прочнее, чем есть. Каждая ступень проверяется со своим сечением.

• Берут максимальный угол участка за угол поворота торца

  Угол торца 3,145 град — это сумма приращений всех трёх ступеней, а не наибольшее из них. Повороты накапливаются вдоль вала.

• Не проверяют среднюю ступень, решив, что она заведомо между крайними

  Напряжения по ступеням здесь идут 59,4 МПа, 61,2 МПа, 63,7 МПа — монотонно, но так бывает не всегда. Стоит одному диаметру выпасть из ряда, и максимум окажется в середине.