Касательные напряжения: где возникают и как считать
Касательное напряжение действует вдоль площадки сечения, а не поперёк неё: оно сдвигает соседние слои материала друг относительно друга. При кручении его считают как отношение крутящего момента к полярному моменту сопротивления, при изгибе — по формуле Журавского через поперечную силу и статический момент отсечённой части.
Нормальное напряжение растягивает или сжимает, и это легко представить. Касательное — сдвигает, и картинка уже не такая наглядная: волокно не удлиняется, а перекашивается относительно соседнего.
Считать его приходится там, где сечение работает на кручение или срез, а также в проверке вала на изгиб с кручением. Формул оказывается две — разные для двух видов нагружения, — и их регулярно путают между собой.
При кручении τ растёт от центра к краю
Сечение вала при кручении поворачивается как жёсткий круг: радиусы остаются прямыми, а угол поворота нарастает вдоль оси. Отсюда линейный закон — сдвиг точки пропорционален её расстоянию от центра.
Практическое следствие: в центре вала касательное напряжение равно нулю, и материал там почти не работает. Поэтому полый вал выгоднее сплошного той же массы: убрали то, что бездельничало.
При изгибе τ считают по Журавскому
Поперечная сила тоже порождает касательные напряжения, но распределены они иначе: по высоте сечения τ меняется параболически и достигает максимума на нейтральной оси — там, где нормальное напряжение как раз равно нулю.
У балок обычных пролётов эти напряжения малы по сравнению с нормальными, и проверку по ним делают редко. Она становится обязательной у коротких балок, у тонкой стенки двутавра и в сварных швах составного сечения.
Закон парности: их всегда четыре
Касательное напряжение не бывает одиноким. На двух взаимно перпендикулярных площадках они равны по величине и направлены либо обе к общему ребру, либо обе от него — иначе элемент начал бы вращаться.
Отсюда понятно, почему деревянный брус при изгибе трескается вдоль волокон: продольные касательные напряжения равны поперечным, а древесина вдоль волокон держит сдвиг куда хуже.
Своё допускаемое напряжение
Сравнивать τ с [σ] нельзя: это разные виды нагружения. Допускаемое касательное для пластичных материалов принимают примерно вдвое меньше допускаемого нормального — точное соотношение зависит от принятой теории прочности.
Когда в сечении действуют оба напряжения сразу — как в вале при изгибе с кручением, — их не складывают, а сводят к одному эквивалентному по выбранной теории прочности.
На числах
Вал диаметром 60 мм с тремя участками. Наибольший крутящий момент 2,50 кН·м стоит на среднем участке, и при полярном моменте сопротивления 42412 мм³ он даёт 58,9 МПа — это и есть наибольшее касательное напряжение вала.
Где обычно ошибаются
Считают τ при изгибе по формуле кручения
Полярный момент сопротивления относится к кручению и только к нему. При изгибе касательное напряжение считают по Журавскому, через поперечную силу, статический момент отсечённой части и ширину сечения на рассматриваемом уровне.
Ищут максимум τ там же, где максимум σ
При изгибе эти точки противоположны: нормальное напряжение наибольшее в крайних волокнах, касательное — на нейтральной оси. Проверять «опасную точку» приходится по обоим напряжениям отдельно.
Сравнивают τ с допускаемым нормальным напряжением
У касательного напряжения своё допускаемое: в примере условие прочности сводится к сравнению 58,9 МПа с 80 МПа, и запас получается 26,3 %. Подставить сюда [σ] — значит завысить несущую способность примерно вдвое.
Берут момент со знаком, а не по модулю
Знак крутящего момента говорит лишь о направлении закручивания. В расчёт напряжения идёт наибольший ПО МОДУЛЮ момент: в примере это −2,50 кН·м, хотя на соседнем участке момент положительный.
Частые вопросы
Почему в центре круглого вала напряжение равно нулю?
Потому что сдвиг точки пропорционален её расстоянию от оси, а на самой оси это расстояние нулевое. Материал у центра практически не работает — на этом и держится выгода полого вала.
Подбор диаметра вала →Когда нужно проверять балку по касательным напряжениям?
Если балка короткая, стенка тонкая или сечение составное и держится на сварке. У прокатной балки обычного пролёта эта проверка почти всегда проходит с большим запасом.
Можно ли складывать σ и τ?
Нет. Они действуют на разные площадки и суммированию не подлежат. Их сводят к одному эквивалентному напряжению по теории прочности и уже его сравнивают с допускаемым.
Какую теорию выбрать →Чему равен статический момент в формуле Журавского?
Это статический момент той части сечения, которая лежит выше рассматриваемого уровня, относительно нейтральной оси. На крайнем волокне отсечённой части нет, поэтому там τ обращается в ноль.