Как подобрать диаметр вала при кручении

1. 1

   Наибольший крутящий момент

   Отсчёт по-прежнему от левого торца, ось z вдоль вала. Диаметр пока неизвестен, но на эпюру M_к он не влияет: крутящий момент зависит только от нагрузки, а не от размеров сечения. Значит эпюру можно построить сразу.

   Оба момента направлены одинаково, поэтому у заделки они складываются. Наибольший момент — на первом участке.

   $$\left|M_{\text{к}}\right|_{max} = T_1 + T_2$$
   $$M_{\text{к}}^{(1)} = -2{,}00\ \text{кН·м}; \quad M_{\text{к}}^{(2)} = -0{,}60\ \text{кН·м}; \quad \left|M_{\text{к}}\right|_{max} = 2{,}00\ \text{кН·м}$$
   Расчётный момент

   2,00 кН·м

   Расчётный момент 2,00 кН·м — по нему и подбираем сечение на всю длину.

2. 2

   Диаметр из условия прочности

   Записываем условие прочности и выражаем требуемый момент сопротивления. Дальше остаётся обратить формулу W_ρ = πD³/16: диаметр входит в куб, поэтому в ответе стоит кубический корень.

   Промежуточный результат — требуемый W_ρ = 50000 мм³ — полезно выписать отдельно: по нему удобно выбирать из сортамента, если вал должен быть трубчатым.

   $$\tau_{max} = \frac{M_{\text{к}}}{W_\rho} \le [\tau] \;\Rightarrow\; D \ge \sqrt[3]{\frac{16 M_{\text{к}}}{\pi [\tau]}}$$
   $$W_\rho^{\text{треб}} = \frac{2{,}00}{40} = 50000\ \text{мм³}; \qquad D \ge 63{,}4\ \text{мм}$$
   Требуемый W_ρ

   50000 мм³

   D из прочности

   63,4 мм

   Из прочности требуется 63,4 мм.

3. 3

   Диаметр из условия жёсткости

   Здесь диаметр входит уже в четвёртой степени — через полярный момент инерции, — поэтому корень будет четвёртой степени. Допускаемый угол надо предварительно перевести в радианы на миллиметр, иначе результат разъедется на три порядка.

   Обратите внимание, насколько слабее жёсткость реагирует на диаметр: чтобы вдвое уменьшить угол закручивания, диаметр надо увеличить всего примерно на 19 процентов.

   $$\theta = \frac{M_{\text{к}}}{G J_\rho} \le [\theta] \;\Rightarrow\; D \ge \sqrt[4]{\frac{32 M_{\text{к}}}{\pi G [\theta]}}$$
   $$D \ge 73{,}5\ \text{мм}$$
   D из жёсткости

   73,5 мм

   Из жёсткости требуется 73,5 мм — заметно больше.

4. 4

   Выбор окончательного размера

   Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому берём больший из двух диаметров. Здесь решает жёсткость: она требует в 1,160 раза больший размер, чем прочность.

   Полученное число округляем вверх — вниз нельзя, условие нарушится. В курсовых обычно округляют до целых миллиметров, на производстве — до ближайшего стандартного размера по ряду предпочтительных чисел.

   $$D = \max\left(D_\tau,\ D_\theta\right) \to \text{округление вверх}$$
   $$D = \max\left(63{,}4;\ 73{,}5\right) = 73{,}5\ \text{мм} \to 74\ \text{мм}$$
   Требуемый диаметр

   73,5 мм

   Принятый диаметр

   74 мм

   Принимаем 74 мм. Решающим оказалось условие жёсткости — именно поэтому проверять надо оба.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Кручение», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §2.11.

• Проверяют только прочность

  Тогда вал получился бы 63,4 мм вместо 74 мм и закручивался бы сверх нормы. Условие жёсткости — не дополнительное пожелание, а такое же обязательное требование.

• Берут меньший из двух диаметров

  Нужен тот, при котором выполняются оба условия сразу, то есть больший — 73,5 мм. Меньший нарушает более строгое из них.

• Округляют результат вниз до круглого числа

  73,5 мм округляется вверх, до 74 мм. Округление вниз выводит вал за границу допускаемого, пусть и на доли процента.

• Оставляют допускаемый угол в градусах на метр

  В формулу идут радианы на миллиметр. 0,5 град/м — это примерно 8,7 микрорадиана на миллиметр; подстановка градусов даёт ответ почти в четыре раза меньше.