Момент инерции круга

1. 1

   Оси и площадь

   Начало координат ставим в центре круга. Горизонтальная ось — это ось y, вертикальная — ось z; обе проходят через центр, то есть являются центральными, и все характеристики ниже посчитаны относительно них. Для круга направление осей роли не играет: фигура симметрична в любую сторону, и от поворота ничего не меняется.

   Площадь берём по школьной формуле. Она понадобится дальше дважды: в радиусе инерции и в проверке прочности на растяжение.

   $$F = \frac{\pi d^{2}}{4}$$
   $$F = \frac{\pi \cdot 40^{2}}{4} = 1256{,}64\ \text{мм²}$$
   Площадь

   1256,64 мм²

   Центр тяжести от края

   20 мм

   Площадь 1256,64 мм², центр тяжести на оси симметрии, в 20 мм от края.

2. 2

   Осевой момент инерции

   Момент инерции — это интеграл от квадрата расстояния до оси по всей площади. Квадрат в подынтегральном выражении и даёт четвёртую степень в результате: размер входит дважды через площадь и дважды через расстояние.

   Для круга интеграл берётся в полярных координатах и приводит к знаменателю 64. Число некрасивое, но запоминается по цепочке: площадь — четвёрка в знаменателе, момент инерции — шестьдесят четыре, то есть та же четвёрка в третьей степени.

   $$I_y = I_z = \frac{\pi d^{4}}{64}$$
   $$I = \frac{\pi \cdot 40^{4}}{64} = 125664\ \text{мм⁴}$$
   Осевой момент инерции

   125664 мм⁴

   125664 мм⁴ относительно любой центральной оси. Одинаковость по y и z — прямое следствие симметрии: у круга нет «сильного» и «слабого» направления.

3. 3

   Полярный момент инерции

   Полярный момент считается относительно точки, а не оси: в интеграле стоит квадрат расстояния до центра. По теореме Пифагора этот квадрат равен сумме квадратов координат — а это в точности сумма двух осевых моментов.

   Поскольку у круга оба осевых равны, полярный получается ровно вдвое больше любого из них. Это соотношение работает только для фигур с равными осевыми моментами — у прямоугольника, например, так уже не выйдет.

   $$I_\rho = I_y + I_z = \frac{\pi d^{4}}{32}$$
   $$I_\rho = 2 \cdot 125664 = 251327\ \text{мм⁴}$$
   Полярный момент инерции

   251327 мм⁴

   251327 мм⁴ — вдвое больше осевого. Именно эта величина входит в расчёт вала на кручение под именем J_ρ.

4. 4

   Моменты сопротивления и радиус инерции

   Момент сопротивления получается делением момента инерции на расстояние до самой удалённой точки — у круга это радиус. Он нужен для прочности: наибольшее нормальное напряжение равно моменту, делённому на W.

   Радиус инерции — величина другой природы: это условное расстояние, на котором надо сосредоточить всю площадь, чтобы момент инерции не изменился. У круга он равен четверти диаметра, и это удобный ориентир для прикидок в расчётах на устойчивость.

   $$W = \frac{I}{d/2} = \frac{\pi d^{3}}{32}; \qquad i = \sqrt{\frac{I}{F}} = \frac{d}{4}$$
   $$W = 6283\ \text{мм³}; \qquad W_\rho = 12566\ \text{мм³}; \qquad i = \frac{40}{4} = 10{,}0\ \text{мм}$$
   Осевой момент сопротивления

   6283 мм³

   Полярный момент сопротивления

   12566 мм³

   Радиус инерции

   10,0 мм

   Осевой момент сопротивления 6283 мм³, полярный 12566 мм³, радиус инерции 10,0 мм. Полярный W вдвое больше осевого — по той же причине, что и у моментов инерции.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §3.2.

• Подставляют в формулу радиус вместо диаметра

  πd⁴/64 записана через диаметр. Подставите радиус — ответ уменьшится в шестнадцать раз. Через радиус формула выглядит как πr⁴/4; перепроверяйте, какая из них у вас в конспекте.

• Считают полярный момент по своей формуле с нуля

  Не нужно: он равен сумме осевых, а для круга просто вдвое больше одного из них — 251327 мм⁴. Отдельное интегрирование только добавляет шансов ошибиться.

• Путают момент инерции с моментом сопротивления

  125664 мм⁴ и 6283 мм³ различаются на порядок и по смыслу: первый в мм⁴ отвечает за жёсткость, второй в мм³ — за прочность. В формулу σ = M/W идёт именно момент сопротивления.

• Вычисляют радиус инерции как половину чего-нибудь

  У круга i = d/4, то есть 10,0 мм, а не d/2. Совпадение с половиной радиуса не случайно, но выводится оно из корня отношения I к F, а не угадывается по геометрии.