Как проверить сжатый стержень на устойчивость

1. 1

   Ось стойки и радиус инерции сечения

   Ось стойки ведём вдоль неё от нижней опоры вверх, начало отсчёта — в нижнем шарнире, длина считается от него. Выпучивание идёт в плоскости наименьшей жёсткости, поэтому в расчёт берётся минимальный момент инерции сечения, а не тот, что в таблице стоит первым.

   Для двутавра минимальный момент — относительно вертикальной оси, он в шестнадцать раз меньше главного. Взять больший — ошибка не в процентах, а в разы, и всегда против запаса.

   $$i_{min} = \sqrt{\frac{I_{min}}{A}}$$
   $$i_{min} = \sqrt{\frac{1159475}{2680}} = 20{,}80\ \text{мм}$$
   Радиус инерции

   20,80 мм

   Площадь сечения 2680 мм², минимальный момент инерции 1159475 мм⁴, радиус инерции 20,80 мм.

2. 2

   Приведённая длина и гибкость

   Коэффициент приведения длины отвечает за схему закрепления: произведение μl — это длина такой шарнирно опёртой стойки, которая теряет устойчивость при той же силе. Одна формула Эйлера с μ покрывает все четыре схемы.

   Гибкость безразмерна и показывает, «длинный» стержень или «короткий», не в метрах, а по отношению к собственной жёсткости сечения. Именно по ней дальше выбирается расчётная формула.

   $$\lambda = \frac{\mu\, l}{i_{min}}$$
   $$\lambda = \frac{1{,}0 \cdot 3000}{20{,}80 \cdot 1{,}0} = 144{,}2$$
   Приведённая длина

   3000 мм

   Гибкость

   144,2

   При шарнирных опорах μ = 1,0, приведённая длина 3000 мм, гибкость 144,2.

3. 3

   Проверка применимости формулы Эйлера

   Формула Эйлера выведена в предположении, что материал работает упруго. Как только критическое напряжение переваливает за предел пропорциональности, вывод перестаёт быть верным, и формула завышает несущую способность — ошибается против запаса.

   Поэтому сначала считают предельную гибкость и только потом выбирают формулу. Для Ст3 граница приходится примерно на сотню; ниже неё и до λ₀ пользуются эмпирической прямой Ясинского, ещё ниже стержень выпучиться не успевает.

   $$\lambda_{пред} = \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{пц}}}$$
   $$\lambda_{пред} = \pi\sqrt{\frac{200000}{200}} = 99{,}3$$
   Предельная гибкость

   99,3

   Гибкость 144,2 больше предельной 99,3, значит стержень большой гибкости и формула Эйлера применима честно.

4. 4

   Критическая сила и запас устойчивости

   Критическая сила зависит от длины в квадрате: вдвое более длинная стойка держит вчетверо меньше. Отсюда же и польза защемления — две заделки вместо шарниров дают четырёхкратный выигрыш при той же геометрии.

   Запас показывает, во сколько раз действующая сила меньше критической. Единица означала бы работу ровно на грани, поэтому нормативный запас берут заметно больше — здесь требуется 2,0.

   $$F_{кр} = \frac{\pi^2 E I_{min}}{(\mu l)^2}; \qquad n_у = \frac{F_{кр}}{F}$$
   $$F_{кр} = \frac{\pi^2 \cdot 200000 \cdot 1159475}{3000^2} = 254{,}3\ \text{кН}; \qquad n_у = \frac{254{,}3}{200} = 1{,}27$$
   Критическая сила

   254,3 кН

   Фактический запас

   1,27

   Допускаемая нагрузка

   127,2 кН

   Критическая сила 254,3 кН, критическое напряжение 94,9 МПа. Запас 1,27 при требуемом 2,0 — стойка не проходит, допускаемая нагрузка всего 127,2 кН.

5. 5

   Независимая проверка по нормам через φ

   Это не второй способ найти ту же величину. Эйлер даёт критическую силу — ту, при которой стержень теряет устойчивость. Коэффициент φ по таблице норм сразу даёт допускаемое напряжение, в котором уже учтены и запас, и разброс начальных искривлений реального проката.

   Числа разных смыслов, и сводить их в одно нельзя. Полезны они вместе: если оба способа говорят «не проходит», сомнений не остаётся.

   $$\sigma = \frac{N}{\varphi A} \le R_y$$
   $$\varphi(144{,}2;\ 240) = 0{,}294; \qquad \sigma = \frac{200 \cdot 10^3}{0{,}294 \cdot 2680} = 253{,}4\ \text{МПа}$$
   Коэффициент φ

   0,294

   Напряжение по нормам

   253,4 МПа

   Коэффициент 0,294, напряжение 253,4 МПа против расчётного сопротивления 240 МПа. Оба способа сходятся: сечение нужно увеличивать.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сложное сопротивление», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, гл. «Устойчивость».

• Берут не тот момент инерции

  Для двутавра в таблице первым стоит момент относительно сильной оси, а нужен минимальный — 1159475 мм⁴. Ошибка завышает критическую силу примерно в шестнадцать раз.

• Применяют Эйлера, не проверив гибкость

  Формула честна только при λ выше предельной. Здесь 144,2 против 99,3 — всё в порядке, но на короткой стойке та же формула дала бы силу в разы выше настоящей.

• Забывают коэффициент приведения длины

  μ входит в формулу в квадрате. Для стойки-консоли μ = 2, и критическая сила падает вчетверо по сравнению с шарнирной схемой той же длины.

• Считают запас устойчивости равным запасу прочности

  Потеря устойчивости происходит внезапно, без предупреждающих деформаций, поэтому запас берут больше — здесь требуется 2,0 против фактического 1,27.