Нормальные напряжения при изгибе
Коротко. При изгибе нормальное напряжение в точке сечения пропорционально её расстоянию до нейтральной оси: σ = M·y/J. На самой оси оно равно нулю, наибольшее — в крайних волокнах, поэтому для проверки хватает σmax = M/W, где W = J/ymax — момент сопротивления. Волокна по одну сторону оси растянуты, по другую сжаты.
Эпюры Q и M говорят, какие усилия действуют в сечении, но не говорят, выдержит ли его материал. Ответ даёт напряжение — а при изгибе оно распределено по высоте сечения неравномерно, и формула этого распределения стоит за каждой проверкой балки на прочность.
Выводится она из трёх допущений: сечения остаются плоскими, волокна не давят друг на друга, материал подчиняется закону Гука. Для длинных балок все три выполняются с запасом, и формула работает почти во всех учебных задачах.
Плоские сечения — откуда линейный закон
Изогнутая балка — дуга радиуса ρ. Если сечение поворачивается, оставаясь плоским, удлинение волокна растёт прямо пропорционально его расстоянию y от слоя, длина которого не меняется, — нейтрального слоя. По закону Гука напряжение повторяет деформацию.
Поэтому эпюра σ по высоте — прямая: ноль на нейтральной оси и наибольшие значения на верхней и нижней кромках, разного знака.
Почему нейтральная ось проходит через центр тяжести
При чистом изгибе продольной силы нет: сумма σ по площади равна нулю. Подставив σ = Ey/ρ, получаем, что статический момент сечения относительно нейтральной оси равен нулю, — а это и есть признак центральной оси. Значит, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.
Вторым условием напряжения должны сложиться в изгибающий момент. Отсюда кривизна 1/ρ = M/(EJ), и, подставив её обратно, получаем рабочую формулу: модуль упругости из неё выпадает.
Наибольшее напряжение и момент сопротивления
Для проверки нужна не вся эпюра, а её край. Подставив y = ymax, получаем σmax = M/W, где W = J/ymax зависит только от формы и размеров сечения. Поэтому W и называют моментом сопротивления: чем он больше, тем меньше напряжение при том же моменте.
У симметричного сечения — прямоугольника, круга, двутавра — края равноудалены от оси, и растяжение равно сжатию. У тавра или швеллера, повёрнутого полкой вбок, расстояния разные: момента сопротивления два, и наибольшее напряжение — у дальнего края.
Нормальные и касательные — кто решает
При поперечном изгибе в сечении есть ещё поперечная сила, и к σ добавляются касательные напряжения τ по формуле Журавского. Они наибольшие как раз на нейтральной оси, где σ равно нулю.
У балок, длина которых в несколько раз больше высоты, решают нормальные напряжения — по ним сечение и подбирают. Касательные проверяют у коротких балок и у тонких стенок.
На числах
Балка на двух опорах пролётом 6 м под нагрузкой 15 кН/м: наибольший момент 67,5 кН·м — в середине пролёта. Двутавр с моментом сопротивления 424042 мм³ даёт в крайних волокнах 159,2 МПа — по формуле σ = M/W, без интегрирования по сечению.
Где обычно ошибаются
Подставляют J вместо W
J — в мм⁴, W — в мм³: перепутав их, получают напряжение в сотни раз меньше и вывод «проходит с огромным запасом». Размерность ловит эту ошибку сразу.
Отсчитывают y от края сечения
В формуле y — расстояние от нейтральной оси, а не от верха. У несимметричного сечения ось сначала находят через центр тяжести.
Берут один W для несимметричного сечения
У тавра верхнее и нижнее волокна на разном расстоянии от оси. Для хрупкого материала с разными допускаемыми на растяжение и сжатие проверяют оба края.
Теряют шесть порядков на единицах
Момент обычно в кН·м, W — в мм³ или см³. Удобнее перевести момент в Н·мм: тогда напряжение сразу выходит в мегапаскалях.
Частые вопросы
Почему на нейтральной оси напряжение равно нулю?
Волокна этого слоя при изгибе не меняют длину: выше они укорачиваются, ниже удлиняются (или наоборот). Нет деформации — нет и нормального напряжения.
Зависит ли σ при изгибе от материала?
В пределах упругости — нет: модуль E выпадает из формулы. Стальная и алюминиевая балки одного сечения под одним моментом напряжены одинаково; разные у них прогиб и допускаемое напряжение.
Чем чистый изгиб отличается от поперечного?
При чистом изгибе в сечении есть только момент, при поперечном — ещё и поперечная сила, а с ней касательные напряжения. Формула для σ в обоих случаях одна.
Чистый и поперечный изгиб →Как быстро посчитать напряжения в своей балке?
В калькуляторе балки: эпюры, наибольший момент и проверка сечения — двутавра, прямоугольника или трубы — с ходом решения.
Задачи на изгиб балки →Непонятно? Спросите Репетитора
Объяснит простыми словами, но по учебникам — и покажет, из какой книги ответ. Ничего от себя: если в книгах этого нет, так и скажет. Нажмите вопрос — он откроется в чате.