Как найти прогиб балки под равномерной нагрузкой

1. 1

   Ось отсчёта и уравнение упругой линии

   Ось z ведём от левой опоры вправо вдоль балки, начало отсчёта — в ней. Прогиб v отсчитываем вдоль вертикальной оси y, а она направлена вверх: значит прогиб вниз получится отрицательным, и минус в ответе — не ошибка.

   Изогнутая ось балки называется упругой линией. Её кривизна пропорциональна изгибающему моменту, и при малых прогибах это даёт простое уравнение второго порядка. Момент мы уже знаем — он посчитан на эпюре M, — значит остаётся дважды проинтегрировать.

   $$EJ\,v''(z) = M(z), \qquad \theta(z) = v'(z)$$
   $$EJ = E J = 206000 \cdot 63182200 = 13016\ \text{кН·м²}$$
   Жёсткость EJ

   13016 кН·м²

   Жёсткость сечения при изгибе 13016 кН·м². Чем она больше, тем меньше балка прогнётся под той же нагрузкой.

2. 2

   Реакции и эпюра моментов

   Прогиб считается по моменту, поэтому сначала нужна эпюра M. Схема симметрична: обе реакции равны половине полной нагрузки.

   Момент меняется по параболе от нуля на опорах до максимума посередине. Это и есть подынтегральная функция для следующего шага.

   $$R = \frac{q l}{2}; \qquad M(z) = \frac{q l z}{2} - \frac{q z^{2}}{2}$$
   $$R_A = R_B = \frac{15 \cdot 6}{2} = 45\ \text{кН}; \qquad M_{max} = \frac{15 \cdot 6^{2}}{8} = 67{,}5\ \text{кН·м}$$
   Реакция опоры

   45 кН

   Момент в середине

   67,5 кН·м

   Реакции по 45 кН, наибольший момент 67,5 кН·м в середине пролёта.

3. 3

   Первое интегрирование: углы поворота

   Интеграл от момента даёт угол поворота сечения, умноженный на жёсткость. Появляется первая постоянная интегрирования — та самая, которую потом определит опора.

   Угол поворота — это наклон касательной к упругой линии. У симметричной балки он равен нулю посередине и наибольший по модулю на опорах.

   $$EJ\,\theta(z) = \int M(z)\,dz + C_1$$
   $$\theta_A = -\frac{15 \cdot 6^{3}}{24\,13016} = -0{,}01037\ \text{рад}; \qquad \theta_B = 0{,}01037\ \text{рад}$$
   Угол на левой опоре

   −0,01037 рад

   Угол на правой опоре

   0,01037 рад

   На левой опоре −0,01037 рад, на правой 0,01037 рад — равны по модулю и противоположны по знаку, как и должно быть у симметричной схемы. Посередине угол обращается в ноль, и там же будет наибольший прогиб.

4. 4

   Второе интегрирование и постоянные

   Ещё один интеграл даёт сам прогиб и вторую постоянную. Итого неизвестных две — ровно столько, сколько условий даёт закрепление: на каждой шарнирной опоре прогиб равен нулю.

   Из этих двух условий постоянные и находятся. У заделки условий было бы тоже два, но других: там нулю равны и прогиб, и угол поворота.

   $$EJ\,v(z) = \iint M\,dz\,dz + C_1 z + C_2; \qquad v(0) = v(l) = 0$$
   $$v_{max} = -\frac{5 q l^{4}}{384\,EJ} = -19{,}45\ \text{мм}\quad \text{при } z = 3{,}00\ \text{м}$$
   Наибольший прогиб

   −19,45 мм

   Где достигается

   3,00 м

   Наибольший прогиб −19,45 мм посередине пролёта. Знак минус — балка уходит вниз, против направления оси y.

5. 5

   Сверка с табличной формулой

   Для этой схемы прогиб есть в любом справочнике: 5ql⁴/(384·EJ). Подставим числа и сравним — если сошлось, интегрирование верное.

   Такая сверка возможна не всегда: стоит добавить второй участок нагрузки или сместить силу, и готовой формулы уже не найдёшь. Тем полезнее проверить метод на схеме, где ответ известен.

   $$v_{max} = \frac{5 q l^{4}}{384\,EJ}$$
   $$v_{max} = \frac{5 \cdot 15 \cdot 6^{4}}{384 \cdot 13016} \cdot 10^{3} = 19{,}45\ \text{мм}$$
   По табличной формуле

   19,45 мм

   Справочная формула даёт 19,45 мм — ровно тот же модуль, что и интегрирование. Расчёт верен.

6. 6

   Проверка жёсткости

   Допускаемый прогиб задают не числом, а долей пролёта: [v] = l/n. Так его и нормируют — для перекрытий обычно берут n = 200, для второстепенных элементов допускают больше, для ответственных меньше.

   Сравниваем модуль наибольшего прогиба с этой величиной. Заодно посмотрим на напряжение: у выбранного профиля оно 159,2 МПа — прочность на пределе, а жёсткость с запасом.

   $$\left|v\right|_{max} \le [v] = \frac{l}{n}$$
   $$[v] = \frac{6}{200} \cdot 10^{3} = 30{,}0\ \text{мм}; \qquad 19{,}45\ \text{мм} \le 30{,}0\ \text{мм}$$
   Допускаемый прогиб

   30,0 мм

   Запас по жёсткости

   35,2 %

   19,45 мм против допускаемых 30,0 мм — жёсткость обеспечена с запасом 35,2 %.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Статически определимые балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.5.

• Считают минус в ответе ошибкой и убирают его

  −19,45 мм — это перемещение вдоль оси y, а она направлена вверх. Балка гнётся вниз, поэтому знак отрицательный. В нормах и таблицах приводят модуль, но при интегрировании знак получается сам, и стирать его нельзя: на балке с консолью пролёт и консоль уходят в разные стороны, и знак единственное, что их различает.

• Ищут наибольший прогиб там же, где наибольший момент

  У симметричной схемы эти точки совпали — обе посередине, при 3,00 м. Но совпадение случайное: прогиб максимален там, где угол поворота обращается в ноль, а момент — там, где в ноль уходит поперечная сила. Стоит сдвинуть нагрузку, и точки разъедутся.

• Подставляют момент инерции в сантиметрах, а длину в метрах

  Самая частая ошибка в этой теме, и результат уезжает на порядки. Держите единицы связкой: J в мм⁴ и E в МПа дают EJ в кН·м², а с длиной в метрах прогиб выходит в метрах. Здесь 63182200 мм⁴ и 206000 МПа дали 13016 кН·м².

• Сравнивают прогиб с допускаемым напряжением

  Прочность и жёсткость — независимые условия и разные величины. 19,45 мм сравнивают с 30,0 мм, а 159,2 МПа — с допускаемым напряжением материала. Балка может пройти одно и провалить другое.

• Берут постоянные интегрирования нулевыми

  Ноль они дают только в заделке. На шарнирных опорах C₁ отвечает за наклон и нулю не равна: у нас угол на опоре −0,01037 рад. Обнулив постоянные, вы получите балку, защемлённую там, где стоит шарнир.