Момент сопротивления сечения
Момент сопротивления W — это момент инерции, делённый на расстояние до самого удалённого волокна. Он отвечает за прочность: наибольшее напряжение при изгибе равно изгибающему моменту, делённому на W. Размерность — длина в кубе.
Момент сопротивления почти никогда не считают ради него самого — он нужен в одной-единственной строке, в условии прочности при изгибе. Зато в ней он незаменим: подбор балки по допускаемому напряжению начинается именно с требуемого W.
Путают его с моментом инерции, и не случайно: в таблице сортамента они стоят рядом и называются похоже. Между тем подставить одно вместо другого — значит ошибиться не в коэффициенте, а в размерности: мм⁴ против мм³.
Разделить их просто, если помнить, ЧТО каждая описывает. Момент инерции описывает сечение целиком, момент сопротивления — его самую нагруженную точку.
Откуда берётся момент сопротивления
Нормальное напряжение при изгибе растёт линейно от нейтральной оси: σ = M·z/I. Наибольшее оно в крайнем волокне, при z = z_max. Подставив это в формулу, получаем σ = M/(I/z_max) — и знаменатель обозначают буквой W.
То есть W не самостоятельная величина, а сокращение: момент инерции, делённый на расстояние до самой удалённой точки. Отсюда и размерность: мм⁴ делить на мм даёт мм³.
Формулы для ходовых сечений
Отдельных выводов для каждой фигуры не требуется: момент сопротивления получается из уже известного момента инерции делением на половину высоты — для всех сечений, симметричных относительно своей оси. Поэтому таблица формул W повторяет таблицу формул I, только степень на единицу ниже.
У прямоугольника 60 мм × 100 мм моменту инерции 5000000 мм⁴ отвечает момент сопротивления 100000 мм³. Обратите внимание на вторую пару: тот же прямоугольник относительно другой оси даёт 1800000 мм⁴ и 60000 мм³ — характеристики считаются для КАЖДОЙ оси свои, и решает, какая из них рабочая, направление изгиба.
Для прокатных профилей ничего выводить не нужно вовсе: W записан в сортаменте готовым, вместе с I. Считать его по габаритам двутавра неверно — контур там не прямоугольный, и результат разойдётся с таблицей на десятки процентов.
Разные задачи — разные характеристики
Проверяете прочность или подбираете профиль по допускаемому напряжению — нужен W. Считаете прогиб или угол поворота — нужен I. Эти два расчёта независимы, и профиль, прошедший по одному, вполне может не пройти по другому.
Практическое следствие для подбора: сначала прикиньте, какое условие будет решающим. У короткой балки почти всегда прочность, значит подбирайте по W. У длинной — жёсткость, тогда считайте требуемый I и проверяйте прочность следом.
Несимметричные сечения: два W на одно I
У прямоугольника и двутавра крайние волокна равноудалены от оси, поэтому момент сопротивления один. У тавра, швеллера, уголка расстояния разные — и моментов сопротивления два: верхний и нижний.
Момент инерции при этом остаётся один. Он свойство сечения целиком, а W — свойство конкретного волокна, и волокон два. Опасным оказывается то, у которого W меньше, если момент одного знака; при знакопеременной эпюре проверять нужно оба.
На числах
Прямоугольник 60 мм × 100 мм: момент инерции 5000000 мм⁴ даёт момент сопротивления 100000 мм³ — делением на половину высоты.
Где обычно ошибаются
Подставляют I вместо W в условие прочности
Единицы не сойдутся: 5000000 мм⁴ в мм⁴ против 100000 мм³ в мм³. Напряжение выйдет заниженным в разы — ровно во столько, чему равна половина высоты сечения.
Считают W для несимметричного сечения по половине высоты
У тавра нейтральная ось не посередине, и расстояния до полки и до края стенки разные. Делить нужно на РЕАЛЬНОЕ расстояние до рассматриваемого волокна.
Берут W из сортамента, а I считают руками
Или наоборот. Обе величины есть в таблице и связаны тождеством — расхождение между ними означает, что где-то перепутана строка профиля.
Ищут прогиб через момент сопротивления
В формулу прогиба входит EI, а не EW. Перемещения определяет жёсткость сечения целиком, а не сопротивление крайнего волокна.
Частые вопросы
Почему у двутавра W намного больше, чем у прямоугольника той же площади?
Потому что полки унесены от нейтральной оси. Момент инерции растёт как квадрат удаления, а делится потом всего на половину высоты — выигрыш остаётся. При равной массе двутавр держит изгиб в разы лучше.
Существует ли полярный момент сопротивления?
Да, W_p — он нужен при кручении: τ = M_к/W_p. Получается той же операцией из полярного момента инерции: делением на радиус. Для круга W_p ровно вдвое больше осевого W.
Подбор диаметра вала →Какую характеристику записывать в ответ РГР?
Обе, если задание требует и прочности, и жёсткости. В таблице выбранного профиля выписывают W для проверки напряжений и I для проверки прогиба — и в отчёте видно, откуда взялось каждое число.
Непонятно? Спросите Репетитора
Объяснит простыми словами, но по учебникам — и покажет, из какой книги ответ. Ничего от себя: если в книгах этого нет, так и скажет. Нажмите вопрос — он откроется в чате.