Расчёт балки на прочность и жёсткость

1. 1

   Ось отсчёта и реакции опор

   Ось z ведём от левой опоры вправо, начало отсчёта в ней; прогиб меряем вдоль оси y, направленной вверх. Обозначения не меняются до конца расчёта.

   Нагрузка симметрична, опоры расставлены симметрично — реакции равны. Проверяем это уравнением, а не на глаз: привычка полезнее интуиции.

   $$R_A = R_B = \frac{q l}{2}$$
   $$R_A = R_B = \frac{8 \cdot 12}{2} = 48\ \text{кН}$$
   Реакция опоры

   48 кН

   Обе реакции по 48 кН; вместе они держат всю нагрузку.

2. 2

   Эпюры Q и M, опасное сечение

   Поперечная сила меняется линейно от 48,0 кН на опоре до такой же величины с обратным знаком на другой; в середине она проходит через ноль — там и экстремум момента.

   Момент идёт параболой с максимумом посередине. Это опасное сечение, по нему и подбирают профиль.

   $$Q(z) = \frac{q l}{2} - q z; \qquad M_{max} = \frac{q l^{2}}{8}$$
   $$Q(0) = 48{,}0\ \text{кН}; \qquad M_{max} = \frac{8 \cdot 12^{2}}{8} = 144\ \text{кН·м}$$
   Q на опоре

   48,0 кН

   Расчётный момент

   144 кН·м

   Наибольшая поперечная сила 48,0 кН на опорах, наибольший момент 144 кН·м при z = 6 м.

3. 3

   Подбор двутавра по прочности

   Требуемый момент сопротивления получаем из условия прочности, дальше берём из сортамента ближайший профиль, у которого W не меньше.

   Профиль найден, запас есть — если остановиться здесь, задача выглядит решённой. Именно на этом шаге её обычно и заканчивают.

   $$W \ge \frac{M_{max}}{[\sigma]}$$
   $$W \ge \frac{144 \cdot 10^{6}}{160} = 900000\ \text{мм³} \;\Rightarrow\; W_{\text{профиля}} = 1011051\ \text{мм³}$$
   Требуемый W

   900000 мм³

   W профиля

   1011051 мм³

   Требуется 900000 мм³, у принятого профиля 1011051 мм³. Площадь 7216 мм².

4. 4

   Проверка прочности

   Считаем фактическое напряжение при принятом моменте сопротивления. Обратная проверка обязательна: она ловит и промах строкой в таблице, и потерянный множитель в переводе единиц.

   Запас умеренный — значит подбор экономный, металл не переведён впустую.

   $$\sigma = \frac{M_{max}}{W} \le [\sigma]$$
   $$\sigma = \frac{144 \cdot 10^{6}}{1011051} = 142{,}4\ \text{МПа} \le 160$$
   Фактическое напряжение

   142,4 МПа

   Запас прочности

   11,0 %

   142,4 МПа при допускаемом 160 МПа — прочность обеспечена, запас 11,0 %.

5. 5

   Проверка жёсткости: вот где всё ломается

   Берём момент инерции того же профиля, считаем жёсткость 41239 кН·м² и прогиб по формуле для равномерно нагруженной балки. Норма l/250 даёт допускаемые 48,0 мм.

   Прогиб вышел 52,38 мм — больше нормы. Профиль, прошедший по прочности с запасом 11,0 %, не проходит по жёсткости на 9,1 %. Это не ошибка расчёта: на длинных пролётах так и бывает.

   $$v_{max} = \frac{5 q l^{4}}{384\,EJ}; \qquad \left|v\right|_{max} \le \frac{l}{n}$$
   $$52{,}38\ \text{мм} > \frac{12}{250} \cdot 10^{3} = 48{,}0\ \text{мм}$$
   Наибольший прогиб

   52,38 мм

   Допускаемый прогиб

   48,0 мм

   Перебор

   9,1 %

   52,38 мм против допускаемых 48,0 мм — жёсткость НЕ обеспечена, перебор 9,1 %. Нужен профиль крупнее.

6. 6

   Профиль, который проходит по обоим условиям

   Увеличиваем номер и пересчитываем прогиб. Нужен момент инерции побольше — а вместе с ним неизбежно приходит и лишний запас по прочности, за который приходится платить металлом.

   Следующий профиль даёт момент инерции 237044000 мм⁴ и прогиб 44,23 мм — в норму укладываемся. Напряжение при этом падает до 121,5 МПа, то есть прочность теперь с большим избытком.

   $$J \ge \frac{5 q l^{4} n}{384\,E\,l}$$
   $$J = 237044000\ \text{мм⁴} \;\Rightarrow\; 44{,}23\ \text{мм} \le 48{,}0\ \text{мм}$$
   Прогиб нового профиля

   44,23 мм

   Напряжение нового профиля

   121,5 МПа

   Прирост металла

   16,6 %

   Принимаем профиль с 1185220 мм³ и 237044000 мм⁴: прогиб 44,23 мм при норме 48,0 мм, запас 7,8 %. Металла уходит на 16,6 % больше — 8412 мм² против 7216 мм². Это и есть цена жёсткости.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Александров А. В. Сопротивление материалов, §5.6; СП 20.13330.

• Останавливаются на подборе по прочности

  Ровно та ошибка, ради которой написана эта страница. Профиль с запасом прочности 11,0 % даёт прогиб 52,38 мм при норме 48,0 мм — работа сдана, балка провисает.

• Проверяют жёсткость по профилю, которого в итоге не будет

  Прогиб считают по моменту инерции ПРИНЯТОГО сечения, а не требуемого. Поменяли профиль — пересчитайте: у нового J 237044000 мм⁴ вместо прежнего, и прогиб стал 44,23 мм.

• Увеличивают сечение по ширине, чтобы добрать жёсткость

  Момент инерции растёт как куб высоты и лишь линейно по ширине. Прибавка металла даст прирост жёсткости в разы меньший, чем тот же металл, потраченный на высоту профиля.

• Сравнивают прогиб с допускаемым напряжением

  Величины разной природы: 52,38 мм в миллиметрах против 48,0 мм в миллиметрах, а 142,4 МПа в мегапаскалях против 160 МПа. Два условия — две пары сравнений.

• Считают, что запас прочности покрывает и жёсткость

  Не покрывает: это независимые условия. Здесь прочность с запасом 11,0 %, а жёсткость в минусе на 9,1 % — одно про разрушение, другое про перемещения.