Как подобрать двутавр по изгибающему моменту

1. 1

   Ось отсчёта и расчётный момент

   Ось z направим от левой опоры вправо, начало отсчёта в ней. Сосредоточенная сила посередине даёт треугольную эпюру моментов — максимум под самой силой, искать его не нужно.

   Именно этот момент и пойдёт в подбор: сечение подбирают по опасному сечению, а оно там, где |M| наибольший.

   $$R = \frac{F}{2}; \qquad M_{max} = \frac{F l}{4}$$
   $$R_A = R_B = 30\ \text{кН}; \qquad M_{max} = \frac{60 \cdot 5}{4} = 75\ \text{кН·м}$$
   Расчётный момент

   75 кН·м

   Опасное сечение

   2,5 м

   Реакции по 30 кН, расчётный момент 75 кН·м при z = 2,5 м.

2. 2

   Требуемый момент сопротивления

   Условие прочности при изгибе связывает наибольшее нормальное напряжение с моментом и моментом сопротивления сечения. Разворачиваем его относительно W — это и есть та самая единственная формула подбора.

   Единицы: момент в кН·м, напряжение в МПа. Мегапаскаль — это ньютон на квадратный миллиметр, поэтому момент переводим в Н·мм, и W выходит в мм³.

   $$\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W} \le [\sigma] \;\Rightarrow\; W \ge \frac{M_{max}}{[\sigma]}$$
   $$W \ge \frac{75 \cdot 10^{6}}{160} = 468750\ \text{мм³}$$
   Требуемый W

   468750 мм³

   Требуемый момент сопротивления 468750 мм³. С этим числом и идём в сортамент.

3. 3

   Выбор профиля из сортамента

   Ищем двутавр, у которого момент сопротивления НЕ МЕНЬШЕ требуемого. Именно не меньше: округление вниз выводит напряжение за допускаемое, пусть и на доли процента.

   Берём нормальные двутавры серии Б — их и ставят в балки. Колонные и широкополочные профили тоже прошли бы по прочности, но при том же моменте сопротивления они тяжелее: у них металл разнесён вширь, а изгибу нужна высота.

   Ближайший меньший профиль даёт всего 424042 мм³ — при нём напряжение вышло бы 176,9 МПа, то есть за пределом.

   $$W_{\text{профиля}} \ge W_{\text{треб}}$$
   $$480617\ \text{мм³} \ge 468750\ \text{мм³}$$
   W профиля

   480617 мм³

   J профиля

   72092600 мм⁴

   Площадь

   4678 мм²

   Принимаем профиль с моментом сопротивления 480617 мм³ и моментом инерции 72092600 мм⁴. Высота 300 мм, площадь 4678 мм².

4. 4

   Проверка принятого сечения

   Подбор без обратной проверки — половина работы: в сортаменте легко промахнуться строкой. Считаем напряжение при принятом W и сравниваем с допускаемым.

   Заодно видно, насколько профиль недогружен: чем меньше запас, тем экономнее подбор.

   $$\sigma = \frac{M_{max}}{W_{\text{профиля}}} \le [\sigma]$$
   $$\sigma = \frac{75 \cdot 10^{6}}{480617} = 156{,}0\ \text{МПа} \le 160$$
   Фактическое напряжение

   156,0 МПа

   Запас прочности

   2,5 %

   156,0 МПа при допускаемом 160 МПа — прочность обеспечена, запас 2,5 %. Подбор экономный: профиль загружен почти полностью.

5. 5

   Прочность — не всё: смотрим прогиб

   Профиль подобран по прочности, но конструкция обязана удовлетворять ещё и жёсткости. Момент инерции у выбранного двутавра 72092600 мм⁴, жёсткость 14851 кН·м² — этого хватит, чтобы посчитать прогиб.

   Здесь он укладывается в норму с большим запасом. Так бывает не всегда: чем длиннее пролёт, тем вероятнее, что решать будет именно жёсткость.

   $$\left|v\right|_{max} \le [v] = \frac{l}{n}$$
   $$10{,}52\ \text{мм} \le \frac{5}{200} \cdot 10^{3} = 25{,}0\ \text{мм}$$
   Наибольший прогиб

   10,52 мм

   Запас по жёсткости

   57,9 %

   Прогиб 10,52 мм при допускаемых 25,0 мм — жёсткость обеспечена, запас 57,9 %. Профиль подходит по обоим условиям.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Статически определимые балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.3.

• Округляют требуемый W вниз до ближайшего номера

  468750 мм³ требует профиля с 480617 мм³. Взяв соседний снизу с 424042 мм³, получите напряжение 176,9 МПа — за пределом 160 МПа. Условие прочности одностороннее, округление только вверх.

• Теряют степень при переводе единиц

  Момент в кН·м, напряжение в МПа = Н/мм². Чтобы получить мм³, момент надо перевести в Н·мм, то есть умножить на миллион. Забытый множитель даёт W в миллион раз меньше — и профиль размером со спичку.

• Берут колонный двутавр вместо нормального

  По прочности пройдёт и он, но при том же W окажется заметно тяжелее: у колонных профилей металл разнесён по ширине, а изгибу нужна высота. Под балку берут серию Б.

• Считают подбор законченным на проверке прочности

  Есть второе условие — жёсткость. Здесь прогиб 10,52 мм при норме 25,0 мм прошёл, но на длинном пролёте всё было бы наоборот, и профиль пришлось бы увеличивать уже не из-за напряжений.

• Подбирают по среднему моменту, а не по наибольшему

  Сечение работает по самому нагруженному месту: 75 кН·м при z = 2,5 м. Средний по длине момент здесь ни при чём — балка разрушится там, где тонко.