Как проверить эпюры рамы по равновесию узла

1. 1

   Что снимаем с эпюр

   Начало отсчёта ведём от заделки A: ось z вдоль стойки вверх, по ригелю — от узла B вправо. Эпюры уже построены в этих осях, и менять их при проверке нельзя, иначе усилия придут не с той стороны и узел «не сойдётся» на ровном месте.

   Вырезаем узел B двумя сечениями — по ригелю и по стойке вплотную к узлу. В каждом сечении действуют три усилия: продольная сила, поперечная и изгибающий момент, и все три уже посчитаны и нарисованы. Наша задача — приложить их к вырезанному кусочку в тех направлениях, которые им предписывает правило знаков, и посмотреть, уравновесится ли он.

   С ригеля у узла снимаем момент −125,00 кН·м и поперечную силу 50,00 кН, со стойки — момент −125,00 кН·м и продольную −50,00 кН. Никаких новых вычислений: только чтение готовых эпюр.

   Момент, ригель

   −125,00 кН·м

   Момент, стойка

   −125,00 кН·м
2. 2

   Момент в узле: модуль и сторона

   Внешнего момента к узлу не приложено, значит моменты с двух сторон обязаны уравновесить друг друга. Совпадают они по МОДУЛЮ — здесь это −125,00 кН·м и −125,00 кН·м, — и по стороне, на которой построена эпюра: сжатым остаётся одно и то же волокно контура.

   Сверять узел по знаку нельзя. Знак отсчитывается от локальной оси стержня, а у ригеля и стойки они смотрят в разные стороны, поэтому у соседей знаки могут не совпасть при совершенно верных эпюрах. На самой эпюре M знака и нет — сторона говорит за него.

   $$\sum M_{\text{узла}} = 0$$

   Моменты сошлись по модулю и по стороне — узел по моменту в равновесии.

3. 3

   Проекции: где Q становится N

   На переломе стержня продольная сила одного становится поперечной другого — оси поворачиваются на прямой угол вместе со стержнем. Поэтому поперечная сила ригеля 50,00 кН переходит в продольную стойки −50,00 кН, а продольная ригеля 0,00 кН — в поперечную стойки.

   Это и есть главное отличие рамы от балки, и главный источник ошибок: величины переписывают, не меняя названия. Проверка проекциями ловит это сразу — суммы по горизонтали и по вертикали не сойдутся.

   $$\sum X_{\text{узла}} = 0, \qquad \sum Y_{\text{узла}} = 0$$
   Q ригеля

   50,00 кН

   N стойки

   −50,00 кН
4. 4

   Третья проверка: заделка

   Реактивный момент заделки 149,00 кН·м обязан совпасть с ординатой эпюры M в основании стойки — −149,00 кН·м. Это независимая проверка: реакция получена из статики всей рамы, а ордината — из метода сечений по одному стержню, и путь до них разный.

   Сюда же вторая быстрая сверка: реакция 50,00 кН равна всей вертикальной нагрузке 50 кН, а −12,00 кН — приложенной горизонтальной 12 кН с обратным знаком. Если хоть одна из трёх не сходится, дальше эпюры читать нет смысла.

   Реактивный момент

   149,00 кН·м

   Ордината эпюры

   −149,00 кН·м

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

• Сравнивают знаки моментов в узле

  У ригеля и стойки локальные оси смотрят в разные стороны, поэтому знаки соседей могут отличаться при верных эпюрах. Совпадать обязаны модуль и сторона сжатого волокна.

• Переносят Q в Q через перелом

  На повороте стержня оси поворачиваются вместе с ним: поперечная сила одного становится продольной другого. Здесь 50,00 кН ригеля переходит в −50,00 кН стойки, а не в поперечную.

• Проверяют суммой реакций

  Реакции посчитаны до эпюр и от них не зависят — эта сумма сойдётся при любых эпюрах. Проверка должна связывать два независимо посчитанных куска, а это и есть узел.

• Забывают про внешнюю нагрузку в самом узле

  Если к узлу приложена сила или момент, они входят в уравнения равновесия наравне с усилиями с эпюр. Узел без них не сойдётся, и его начнут «чинить», хотя эпюры верны.