Полный расчёт рамы: от реакций до сечения

1. 1

   Шаг 1. Оси и реакции заделки

   Ось x ведём вправо, ось y вверх, начало отсчёта — в заделке. Местная координата z у стойки идёт снизу вверх, у ригеля — от узла к свободному концу. Дальше эти направления не меняются: переобъявленная посреди решения ось — самый частый источник перепутанных знаков.

   Заделка даёт три связи, уравнений равновесия тоже три — система определима. Горизонтальная реакция уравновешивает силу 10 кН, вертикальная собирает всю распределённую нагрузку, а реактивный момент складывается из вкладов обеих нагрузок.

   $$\sum X = 0; \qquad \sum Y = 0; \qquad \sum M_A = 0$$
   $$R_{Ax} = -10{,}00\ \text{кН}; \qquad R_{Ay} = 12 \cdot 5 = 60{,}00\ \text{кН}; \qquad M_A = 150\ \text{кН·м} + 30\ \text{кН·м} = 180{,}00\ \text{кН·м}$$
   Горизонтальная реакция

   −10,00 кН

   Вертикальная реакция

   60,00 кН

   Момент заделки

   180,00 кН·м

   Реакции: −10,00 кН, 60,00 кН, момент заделки 180,00 кН·м. В нём 150 кН·м от распределённой нагрузки и 30 кН·м от горизонтальной силы — полезно держать эти слагаемые раздельно, они пригодятся для проверки.

2. 2

   Шаг 2. Ригель как консоль

   Ригель защемлён в узле и свободен на конце, то есть работает обычной консолью. Идём от свободного конца: там момент нулевой, и реакции в расчёт не входят — накапливается только распределённая нагрузка.

   Момент растёт по параболе и у узла достигает 150,00 кН·м. Поперечная сила линейна и у узла равна 60,00 кН — всей нагрузке, собранной с ригеля.

   $$M(z) = -\frac{q z^{2}}{2}, \qquad Q(z) = -q z$$
   $$M(5) = -\frac{12 \cdot 5^{2}}{2} = -150{,}00\ \text{кН·м}, \qquad Q(5) = 60{,}00\ \text{кН}$$
   Момент у узла

   150,00 кН·м

   Поперечная сила ригеля

   60,00 кН

   У узла момент 150,00 кН·м (растянуты верхние волокна), поперечная сила 60,00 кН. Продольной силы в ригеле нет: горизонтальная сила приложена к узлу, а не к ригелю.

3. 3

   Шаг 3. Переход через жёсткий узел

   Момент проходит узел без изменения — внешнего момента к нему не приложено. А вот силы меняются ролями: вертикальная нагрузка, которую ригель нёс поперёк, для стойки становится продольной, а горизонтальная сила 10 кН для стойки — поперечной.

   Вырежьте узел и проверьте: суммы проекций на обе оси и сумма моментов должны обратиться в ноль. Если не сходится, ошибка именно здесь, а не в интегрировании эпюр.

   $$M_{\text{стойки}} = M_{\text{ригеля}}; \qquad N_{\text{стойки}} = -Q_{\text{ригеля}}; \qquad Q_{\text{стойки}} = F$$
   $$M = 150{,}00\ \text{кН·м}; \qquad N = -60{,}00\ \text{кН}; \qquad Q = 10{,}00\ \text{кН}$$
   Сжатие стойки

   −60,00 кН

   Поперечная сила стойки

   10,00 кН

   На стойку пришли момент 150,00 кН·м, сжатие −60,00 кН и поперечная сила 10,00 кН. Стойка работает на изгиб со сжатием одновременно.

4. 4

   Шаг 4. Стойка и опасное сечение

   Поперечная сила в стойке постоянна и равна 10,00 кН, значит момент меняется линейно. От 150,00 кН·м наверху он растёт до 180,00 кН·м внизу — прибавка ровно 30 кН·м, то есть сила 10 кН на плече 3 м.

   Наибольший по модулю момент во всей раме — 180,00 кН·м в заделке. Там же действует и сжатие −60,00 кН, поэтому опасное сечение однозначно: основание стойки.

   $$M(z) = M_{\text{узла}} + F \cdot (h - z)$$
   $$M_A = 150{,}00\ \text{кН·м} + 10 \cdot 3 = 180{,}00\ \text{кН·м} = M_{max}$$
   Расчётный момент

   180,00 кН·м

   Опасное сечение — заделка: 180,00 кН·м при сжатии −60,00 кН. Заодно сошлось с реакцией из шага 1 — два независимых пути дали одно число.

5. 5

   Шаг 5. Подбор сечения

   Требуемый момент сопротивления получаем из условия прочности. Момент переводим из кН·м в Н·мм множителем 10⁶, чтобы результат вышел в мм³ — тех же единицах, в которых сортамент даёт W.

   Дальше берём из сортамента ближайший профиль, у которого момент сопротивления не меньше требуемого. Округление вниз недопустимо: оно выводит напряжение за допускаемое.

   $$W_{\text{треб}} = \frac{M_{max}}{[\sigma]}$$
   $$W_{\text{треб}} = \frac{180{,}00 \cdot 10^{6}}{160} = 1125000\ \text{мм³} \;\Rightarrow\; W_{\text{профиля}} = 1185220\ \text{мм³}$$
   Требуемый W

   1125000 мм³

   W профиля

   1185220 мм³

   Требуется 1125000 мм³, принят профиль с 1185220 мм³ и площадью 8412 мм².

6. 6

   Шаг 6. Проверка с учётом сжатия

   Стойка сжата и изогнута одновременно, поэтому напряжения складываются: изгибное от момента плюс равномерное от продольной силы. Считаем оба и смотрим, много ли добавляет второе.

   Изгибное 151,87 МПа, от сжатия 7,13 МПа — меньше пяти процентов. Формально сумма чуть превышает 160 МПа, и в строгом расчёте это повод взять следующий номер; в учебной задаче обычно ограничиваются изгибом и оговаривают вклад продольной силы.

   $$\sigma = \frac{M_{max}}{W} + \frac{N}{A} \le [\sigma]$$
   $$\sigma = 151{,}87\ \text{МПа} + 7{,}13\ \text{МПа} \quad \text{против} \quad 160\ \text{МПа}$$
   Напряжение от изгиба

   151,87 МПа

   Напряжение от сжатия

   7,13 МПа

   Запас по изгибу

   5,1 %

   Изгиб даёт 151,87 МПа при запасе 5,1 %, сжатие добавляет 7,13 МПа. Расчёт закончен: профиль принят, обе проверки выполнены.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 3; Качурин В. К. Сборник задач, разд. «Изгиб».

• Складывают моменты от разных нагрузок с одним знаком не глядя

  Здесь 150 кН·м и 30 кН·м действительно складываются: обе нагрузки крутят раму в одну сторону. Поменяйте направление силы 10 кН — и они начнут вычитаться. Проверяйте направление, а не переписывайте формулу.

• Теряют поперечную силу в стойке

  Горизонтальная сила 10 кН приложена к узлу и для стойки становится поперечной: 10,00 кН. Без неё момент в стойке вышел бы постоянным 150,00 кН·м, а не растущим до 180,00 кН·м.

• Подбирают профиль по моменту в ригеле

  Расчётный момент — наибольший по всей раме. У ригеля 150,00 кН·м, у заделки 180,00 кН·м — разница ровно на вклад силы 10 кН. Профиль по ригелю оказался бы недостаточным.

• Проверяют прочность и на этом останавливаются

  Сжатая стойка требует проверки на устойчивость: при −60,00 кН и высоте 3 м гибкость может оказаться решающей. Прочность по σ = N/A проходит с огромным запасом и об этом ничего не говорит.