Что меняется, когда рама несимметрична

1. 1

   Оси и опоры

   Начало координат ставим в левую опору A, ось x вправо, ось y вверх. Левая опора шарнирно-неподвижная и даёт две составляющие реакции, правая шарнирно-подвижная — одну вертикальную. Всего три неизвестные при трёх уравнениях равновесия: схема статически определима, и раскрывать нечего.

   Обратите внимание, что высота опор одинакова, а высота стоек — нет: ступенька сидит в ригеле, а не в основании. Для уравнений это важно, потому что плечо горизонтальной силы отсчитывается от линии опор, а не от верха рамы.

   $$\sum X = 0, \qquad \sum Y = 0, \qquad \sum M_A = 0$$
2. 2

   Горизонтальная реакция

   Горизонтальных сил в схеме ровно две: приложенная 8 кН и реакция в шарнирно-неподвижной опоре. Подвижная опора горизонтально не держит вовсе, поэтому весь распор достаётся левой опоре — и это первое, что стоит выписать: одно уравнение, одна неизвестная.

   $$\sum X = 0: \quad R_{Ax} + H = 0$$
   $$R_{Ax} = -8\ \text{кН}$$
   Горизонтальная реакция

   −8,00 кН

   Распор −8,00 кН — знак минус означает, что реакция направлена против оси x, то есть навстречу приложенной силе.

3. 3

   Вертикальные реакции через момент

   Момент берём относительно левой опоры: тогда обе её составляющие выпадают из уравнения, и остаётся одна неизвестная — реакция правой опоры. Вклада два: равнодействующая распределённой нагрузки 48 кН на своём плече и горизонтальная сила, плечо которой равно высоте её приложения над линией опор.

   Вот здесь и вылезает несимметрия. У равномерной нагрузки плечо — середина ЗАГРУЖЕННОГО участка, а он занимает не весь пролёт. Считать плечо от середины всей рамы — самая частая ошибка в таких схемах, и проверить её симметрией уже не получится.

   $$\sum M_A = 0: \quad R_{Fy} \cdot l - Q \cdot a_Q - H \cdot a_H = 0$$
   Левая опора

   28,00 кН

   Правая опора

   20,00 кН

   Реакции вышли разными: слева 28,00 кН, справа 20,00 кН. Их сумма равна полной вертикальной нагрузке 48 кН — это первая быстрая проверка.

4. 4

   Моменты в узлах

   Дальше идём методом сечений по участкам. В узле B момент 40,00 кН·м, в узле C — 56,00 кН·м, в узле D — 40,00 кН·м. Через жёсткий узел момент проходит без изменения модуля: сколько пришло по одному стержню, столько ушло в другой, и сжатым остаётся то же самое волокно контура.

   Знак при этом у соседних стержней может оказаться разным — он отсчитывается от локальной оси стержня, а у ригеля и стойки они смотрят в разные стороны. Поэтому сверять узел надо по модулю и по стороне, на которой построена эпюра, а не по знаку.

   Узел B

   40,00 кН·м

   Узел C

   56,00 кН·м

   Узел D

   40,00 кН·м
5. 5

   Максимум и продольные силы

   Наибольший по модулю момент 72,67 кН·м сидит на расстоянии 2,33 м от начала загруженного ригеля — там, где эпюра Q проходит через ноль. Стойки работают в основном на сжатие: слева −28,00 кН, справа −20,00 кН, и эти числа отличаются ровно настолько, насколько отличаются вертикальные реакции.

   Наибольший момент

   72,67 кН·м

   Координата

   2,33 м

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

• Делят вертикальную нагрузку пополам

  Привычка из симметричных схем. Здесь нагрузка стоит не по всему пролёту, и её равнодействующая 48 кН приложена не в середине рамы — реакции выходят 28,00 кН и 20,00 кН, а не по половине.

• Берут плечо горизонтальной силы от верха рамы

  Плечо отсчитывается от точки, относительно которой пишут момент, — то есть от линии опор. У ступенчатой рамы верх и линия опор это разные уровни, и разница сразу уезжает в реакции.

• Сверяют узлы по знаку момента

  Знак привязан к локальной оси стержня, а у ригеля и стойки она смотрит в разные стороны. Сходиться в узле обязан модуль и сторона сжатого волокна, а не знак.

• Ищут максимум на границе участка

  На загруженном участке эпюра M — парабола, и её вершина лежит внутри: здесь на 2,33 м от начала ригеля. По концам участка момент меньше, и опасное сечение так пропускают.