Как найти реакции опор рамы

1. 1

   Оси и связи

   Начало отсчёта ведём от левой опоры A: ось x вправо вдоль ригеля, ось y вверх вдоль левой стойки. Все плечи ниже отсчитываются именно от A, и переобъявлять их по ходу мы не будем.

   Шарнирно-неподвижная опора даёт две связи, шарнирно-подвижная — одну. Три связи при трёх уравнениях статики: система статически определима. Если бы связей оказалось четыре, никакие ухищрения не помогли бы — пришлось бы идти в метод сил, и это стоит проверять до того, как начнёте писать уравнения, а не после.

   $$n_{\text{связей}} = 2 + 1 = 3 = \text{число уравнений}$$
2. 2

   Проекции на x: одна неизвестная

   Начинаем с горизонтали, потому что здесь неизвестная всего одна: подвижная опора горизонтально не держит, и весь распор достаётся неподвижной. Правило общее — сначала то уравнение, где неизвестных меньше всего, иначе придётся решать систему там, где хватило бы подстановки.

   $$\sum X = 0: \quad R_{Ax} + H = 0$$
   $$R_{Ax} = -10\ \text{кН}$$
   Распор

   −10,00 кН

   Распор −10,00 кН: минус означает, что реакция смотрит против оси x, навстречу приложенной силе.

3. 3

   Момент относительно левой опоры

   Берём моменты относительно A: обе составляющие реакции в этой точке имеют нулевое плечо и выпадают, остаётся одна неизвестная — вертикальная реакция правой опоры. Вкладов два: сила 30 кН на плече 2 м и горизонтальная 10 кН на плече 4 м, равном высоте её приложения над линией опор.

   Сумма этих двух моментов 100 кН·м — она и уравновешивается реакцией правой опоры на плече 6 м. Горизонтальную силу здесь забывают чаще всего: кажется, что раз она горизонтальная, то на вертикальные реакции не влияет. Влияет, и напрямую.

   $$\sum M_A = 0: \quad R_{Dy} \cdot l - F \cdot a - H \cdot h = 0$$
   $$R_{Dy} = \frac{30 \cdot 2 + 10 \cdot 4}{6}$$
   Правая опора

   16,67 кН

   Правая опора берёт 16,67 кН.

4. 4

   Проекции на y и проверка

   Последнее уравнение даёт левую реакцию: 13,33 кН. Сумма вертикальных реакций обязана равняться вертикальной нагрузке 30 кН — это первая проверка, и она сходится по построению, потому что уравнение проекций мы и использовали.

   Настоящая проверка — четвёртое уравнение, которого в системе не было: момент относительно ПРАВОЙ опоры. Если реакции найдены верно, он тоже обратится в ноль. Именно это уравнение ловит ошибку в плече, которую сумма проекций пропускает.

   $$\sum Y = 0: \quad R_{Ay} + R_{Dy} - F = 0$$
   Левая опора

   13,33 кН

   Момент под силой

   66,67 кН·м

   Слева 13,33 кН, справа 16,67 кН. Момент в узле B получился 40,00 кН·м, наибольший по модулю момент 66,67 кН·м стоит под силой.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

• Забывают горизонтальную силу в уравнении момента

  Она даёт момент 10 кН × 4 м и напрямую меняет вертикальные реакции. Без неё правая опора получилась бы разгруженной, и все эпюры уехали бы следом.

• Берут плечо силы от середины пролёта

  Плечо считается от точки, относительно которой пишут момент. Здесь это опора A, и плечо равно 2 м, а не расстоянию до середины.

• Проверяют суммой проекций

  Она сходится всегда, если ей же реакцию и находили, — это тождество, а не проверка. Проверяет момент относительно ВТОРОЙ опоры: этого уравнения в системе не было.

• Не считают связи перед расчётом

  Четыре связи при трёх уравнениях означают статически неопределимую систему, и статикой её не решить вовсе. Проверка занимает секунду, а экономит полстраницы напрасных выкладок.