Где у рамы опасное сечение и как его искать

1. 1

   Собираем нагрузку

   Ось z ведём по ригелю от левого узла B вправо: z = 0 — левый узел, z = 8 м — правый. Все координаты ниже, включая координату опасного сечения, отсчитываются именно отсюда.

   Трапециевидную нагрузку удобно сразу свести к равнодействующей: её величина равна площади трапеции, то есть полусумме интенсивностей на длину — 96 кН. Интенсивность меняется линейно, шаг падения 1,50 кН/м² на метр, и это то самое число, которое понадобится дальше в уравнении для координаты.

   Точка приложения равнодействующей — центр тяжести трапеции, и он смещён к большему основанию. Считать его серединой пролёта нельзя: именно это смещение и разводит реакции 56,00 кН и 40,00 кН.

   $$Q = \frac{q_1 + q_2}{2}\, l$$
   $$Q = \frac{18 + 6}{2} \cdot 8 = 96\ \text{кН}$$
   Равнодействующая

   96 кН
2. 2

   Реакции

   Реакции находим обычным порядком: момент относительно левой опоры даёт правую реакцию, проекции на вертикаль — левую. Горизонтальных сил в схеме нет вовсе, поэтому распор 0,00 кН нулевой, и стойки работают только на сжатие.

   Реакции вышли разными — 56,00 кН и 40,00 кН, — и разница эта не от геометрии, а от того, что нагрузка смещена влево. Уже отсюда видно, что и максимум момента уедет в левую половину.

   Левая опора

   56,00 кН

   Правая опора

   40,00 кН
3. 3

   Нуль поперечной силы

   Изгибающий момент достигает экстремума там, где его производная обращается в ноль, а производная момента по координате и есть поперечная сила. Значит, координату опасного сечения даёт уравнение Q(z) = 0 — и решать его приходится как квадратное, потому что при линейно меняющейся нагрузке Q квадратична.

   Корень получился 3,673 м от левого узла. Обратите внимание: это меньше половины пролёта — максимум сместился к тому краю, где нагрузка интенсивнее, ровно как и подсказывали реакции.

   $$\frac{dM}{dz} = Q(z) = 0$$
   Координата

   3,673 м

   Опасное сечение на 3,673 м от левого узла ригеля.

4. 4

   Момент в опасном сечении и цена ошибки

   Подставляем найденную координату в выражение для момента и получаем 96,66 кН·м. Для сравнения: момент посередине пролёта равен 96,00 кН·м, то есть меньше всего на 0,66 кН·м.

   Разница ничтожна — и в этом всё коварство. Взяв середину, вы промахнётесь меньше чем на процент, увидите правдоподобное число и не заподозрите ошибки. На другой трапеции, с большим перепадом интенсивностей, тот же приём даст уже заметный недобор, а привычка к нему останется. Поэтому координату ищут уравнением всегда, а не только когда разница выглядит существенной.

   Наибольший момент

   96,66 кН·м

   Больше, чем в середине

   0,66 кН·м

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

• Берут момент в середине пролёта

  Середина даёт максимум только при равномерной нагрузке. Здесь максимум на 3,673 м, и в середине момент меньше на 0,66 кН·м — мало, но на другой схеме разница вырастет.

• Смотрят только на ригель

  В раме наибольший момент часто сидит в узле, куда приходит момент ригеля и откуда он уходит в стойку. Проверять надо всю эпюру, а не самый нагруженный стержень.

• Ищут экстремум по нулю момента

  Ноль эпюры M — точка перегиба, а не максимум. Экстремум там, где через ноль проходит эпюра Q: производная момента это Q, а не сам M.

• Сравнивают кандидатов со знаком

  Опасное сечение выбирают по модулю: отрицательный момент величиной больше положительного опаснее. Знак говорит о том, какое волокно сжато, а не о том, где напряжение больше.