Г-образная рама с заделкой

1. 1

   Оси и реакции заделки

   Глобальные оси: горизонтальная ось x вправо, вертикальная ось y вверх, начало отсчёта — в заделке. Внутри каждого стержня работает своя местная координата z: у стойки она идёт снизу вверх, у ригеля — слева направо, от узла к свободному концу.

   Заделка даёт три связи, а уравнений равновесия у плоской системы тоже три. Система статически определима, реакции находятся сразу.

   $$\sum X = 0; \quad \sum Y = 0; \quad \sum M_A = 0$$
   $$R_{Ax} = 0{,}00\ \text{кН}; \quad R_{Ay} = 10 \cdot 6 + 20 = 80{,}00\ \text{кН}; \quad M_A = 180\ \text{кН·м} + 120\ \text{кН·м} = 300{,}00\ \text{кН·м}$$
   Вертикальная реакция

   80,00 кН

   Момент заделки

   300,00 кН·м

   Горизонтальная реакция 0,00 кН — горизонтальных сил на раме нет. Вертикальная 80,00 кН собирает всю нагрузку, момент заделки 300,00 кН·м складывается из 180 кН·м от распределённой части и 120 кН·м от силы на конце.

2. 2

   Ригель: считаем от свободного конца

   Начинать удобнее со свободного конца — там ничего не приложено, кроме известной силы, и реакции в расчёт не входят. Идём к узлу и накапливаем момент.

   Момент растёт по параболе: распределённая нагрузка даёт квадратичный вклад, сосредоточенная — линейный. К узлу они суммируются в 300,00 кН·м.

   $$M(z) = -F z - \frac{q z^{2}}{2}$$
   $$M(6) = -20 \cdot 6 - \frac{10 \cdot 6^{2}}{2} = -300{,}00\ \text{кН·м}$$
   Момент в узле

   300,00 кН·м

   У свободного конца момент нулевой, у узла достигает 300,00 кН·м по модулю. Знак отрицательный: растянуты верхние волокна ригеля, как у любой консоли.

3. 3

   Что происходит в жёстком узле

   Здесь и прячется вся разница между рамой и балкой. Узел жёсткий, внешнего момента к нему не приложено — значит изгибающий момент переходит со стержня на стержень БЕЗ изменения: 300,00 кН·м на ригеле и столько же на стойке.

   А вот поперечная сила ригеля становится продольной для стойки: ригель передаёт вниз всю вертикальную нагрузку 80 кН, и для стойки это сжатие.

   $$M_{\text{ригель}} = M_{\text{стойка}}; \qquad N_{\text{стойка}} = -Q_{\text{ригель}}$$
   $$M = 300{,}00\ \text{кН·м}; \qquad N_{\text{стойка}} = -80\ \text{кН} = -80{,}00\ \text{кН}$$
   Поперечная сила ригеля

   80 кН

   Продольная сила стойки

   −80,00 кН

   Момент прошёл через узел без потерь, а вертикальная сила 80 кН превратилась в продольное сжатие стойки −80,00 кН.

4. 4

   Стойка: момент постоянен по высоте

   Идём от узла вниз. Поперечных нагрузок на стойке нет, горизонтальной реакции тоже — значит поперечная сила в ней нулевая, а момент по всей высоте один и тот же.

   Дойдя до заделки, получаем 300,00 кН·м — то же самое число, что мы нашли из равновесия на первом шаге. Это и есть проверка: два независимых пути дали один ответ.

   $$Q_{\text{стойка}} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dM}{dz} = 0 \;\Rightarrow\; M = \mathrm{const}$$
   $$M_{\text{стойка}} = 300{,}00\ \text{кН·м} = M_A = 300{,}00\ \text{кН·м}$$
   Наибольший момент

   300,00 кН·м

   Эпюра моментов на стойке — прямоугольник высотой 300,00 кН·м. Сходится с реакцией из первого шага.

5. 5

   Опасное сечение

   Опасно там, где момент наибольший по модулю: вся стойка и узел нагружены одинаково — 300,00 кН·м. Для подбора сечения берут именно это значение.

   Строго говоря, в стойке к изгибу добавляется сжатие −80,00 кН. Для рамы обычных пропорций вклад продольной силы в напряжения на порядок меньше изгибного, и его учитывают только в проверке устойчивости.

   $$\sigma = \frac{M_{max}}{W} + \frac{N}{A}$$
   $$M_{max} = 300{,}00\ \text{кН·м} \ \text{на стойке и в узле}; \qquad N = -80{,}00\ \text{кН}$$
   Расчётный момент

   300,00 кН·м

   Сопутствующее сжатие

   −80,00 кН

   Опасное сечение — стойка целиком: 300,00 кН·м при сжатии −80,00 кН.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 3.

• Обнуляют момент в узле

  Узел жёсткий, а не шарнирный: момент проходит через него целиком — 300,00 кН·м с обеих сторон. Ноль был бы, стой там шарнир.

• Считают стойку ненагруженной, раз на ней ничего не висит

  Стойка получает от ригеля и момент 300,00 кН·м, и сжатие −80,00 кН. Прямые нагрузки на неё не приложены, но через узел приходит всё.

• Рисуют эпюру M со стороны сжатых волокон

  У рам её строят со стороны растянутых — иначе картинка не стыкуется в узле и теряет смысл. Здесь растянута внешняя сторона угла.

• Ищут в стойке поперечную силу

  Горизонтальных нагрузок нет, 0,00 кН нулевая — значит Q в стойке тоже ноль, а момент по высоте постоянен. Наклонная эпюра M на стойке здесь означала бы ошибку.