Как построить эпюры Q и M для консоли с распределённой нагрузкой

1. 1

   Выбираем ось и заменяем нагрузку равнодействующей

   Сначала договоримся об отсчёте, иначе на третьем шаге начнётся путаница. Ось z ведём от заделки вправо: z = 0 — сечение в заделке, z = 2 м — свободный конец. Та же ось подписана внизу эпюр, и никакой другой координаты в этом разборе не будет.

   Теперь сама нагрузка. Пока она размазана по длине, с ней неудобно работать в уравнениях равновесия. Заменяем её одной силой, равной площади эпюры нагрузки. Эта сила приложена в центре тяжести участка — для равномерной нагрузки это его середина.

   Важно: такая замена законна только для определения реакций. Для эпюр внутри балки нагрузку придётся снова считать распределённой.

   $$Q_{\text{равн}} = q \cdot l$$
   $$Q_{\text{равн}} = 10\ \text{кН/м} \cdot 2\ \text{м} = 20\ \text{кН}$$
   Равнодействующая

   20 кН

   Плечо от заделки

   1 м

   Равнодействующая 20 кН приложена на расстоянии 1 м от заделки — ровно в середине консоли.

2. 2

   Реакции в заделке

   Заделка не даёт балке ни сдвинуться, ни повернуться — значит, даёт две реакции: вертикальную силу и реактивный момент. Вертикальную находим из суммы проекций на ось y, момент — из суммы моментов относительно точки защемления.

   $$\sum Y = 0 \;\Rightarrow\; R_A = q\,l; \qquad \sum M_A = 0 \;\Rightarrow\; M_A = \frac{q\,l^{2}}{2}$$
   $$\begin{aligned} R_A &= 10\ \text{кН/м} \cdot 2\ \text{м} = 20\ \text{кН}, \\[2pt] M_A &= \frac{10 \cdot 2^{2}}{2} = 20\ \text{кН·м} \end{aligned}$$
   Вертикальная реакция

   20 кН

   Реактивный момент

   20 кН·м

   Заделка держит консоль силой 20 кН и моментом 20 кН·м. Проверка на здравый смысл: сила равна всему, что положили на балку, — так и должно быть, больше её держать нечему.

3. 3

   Поперечная сила Q(z)

   Поперечная сила в сечении — это сумма всех вертикальных сил по одну сторону от него. Мы режем балку и смотрим, что осталось слева: реакция заделки тянет вверх, а часть нагрузки, попавшая на отсечённый кусок, тянет вниз. Чем дальше сечение от заделки, тем больше нагрузки успело «съесть» реакцию.

   У свободного конца съедено всё: там сила обращается в ноль. Это и есть проверка — на незагруженном торце Q обязана быть нулевой.

   $$Q(z) = R_A - q\,z$$
   $$Q(0\ \text{м}) = 20\ \text{кН}; \qquad Q(2\ \text{м}) = 0\ \text{кН}$$
   Q в заделке, z = 0

   20 кН

   Q на свободном конце

   0 кН

   Эпюра Q — наклонная прямая: 20 кН в заделке, 0 кН на свободном конце. Прямая, а не кривая, потому что нагрузка постоянна.

4. 4

   Изгибающий момент M(z)

   Сечение по-прежнему задаём координатой z от заделки — ось не меняем. А вот складывать удобнее не левую часть, а правую: справа от сечения нет ни реакции, ни реактивного момента, только отрезанный кусок нагрузки. Выбор стороны и выбор оси — разные вещи, и путать их не стоит: ось одна, сторону берём ту, где меньше слагаемых.

   Длина правого куска — (l − z), нагрузка на нём q·(l − z), приложена в его середине, то есть на плече (l − z)/2. Перемножили — получили квадрат. Отсюда и парабола на эпюре: плечо растёт вместе с самой силой, поэтому момент набирает не линейно, а быстрее.

   $$M(z) = -\,\frac{q\,(l - z)^{2}}{2}$$
   $$M(0\ \text{м}) = -20\ \text{кН·м}; \qquad M(1\ \text{м}) = -5\ \text{кН·м}; \qquad M(2\ \text{м}) = 0\ \text{кН·м}$$
   M в заделке, z = 0

   −20 кН·м

   M посередине

   −5 кН·м

   M на свободном конце

   0 кН·м

   Эпюра M — квадратная парабола: −20 кН·м в заделке, −5 кН·м посередине и ноль на свободном конце. Обратите внимание на середину: там четверть от максимума, а не половина — это и есть квадрат в работе.

5. 5

   Опасное сечение

   Максимальный по модулю изгибающий момент — в заделке. Именно это сечение проверяют на прочность и по нему подбирают профиль.

   Эпюра M у консоли целиком в отрицательной зоне: балка выгибается вниз, растянуты верхние волокна. Если в вашей схеме сверху идёт арматура или полка, работать будет именно она.

   Расчётный момент

   20 кН·м

   Расчётная поперечная сила

   20 кН

   Опасное сечение — заделка, z = 0 м. Расчётный момент 20 кН·м, перерезывающая сила 20 кН.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Статически определимые балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1 — правило знаков при изгибе.

• Прикладывают равнодействующую к концу консоли

  Самая частая ошибка и самая дорогая: момент в заделке получается вдвое больше настоящего. Равнодействующая 20 кН стоит в середине участка, на плече 1 м, а не на конце.

• Рисуют эпюру M выше оси

  У консоли, нагруженной сверху, момент отрицателен по всей длине — эпюра целиком под осью. Если она у вас ушла вверх, скорее всего потерян знак в выражении M(z).

• Забывают реактивный момент

  Заделка даёт три связи, а не одну. Оставите только вертикальную реакцию — схема окажется неуравновешенной, и сумма моментов не сойдётся: 20 кН·м просто некому будет держать.

• Ищут экстремум момента внутри пролёта

  Экстремум M там, где Q обращается в ноль. У этой консоли Q равна нулю только на свободном торце, где момента и так нет, — искать внутри нечего. Максимум всегда на краю, в заделке.

• Меряют z то от заделки, то от торца

  Начало отсчёта можно выбрать любое, но одно на весь расчёт. Здесь оно в заделке: z = 0 — защемление, z = 2 м — свободный конец. Смешаете две системы в одной задаче — и парабола сядет зеркально, с максимумом не в том конце.