Консольная балка с равномерно распределённой нагрузкой

1. 1

   Заменяем распределённую нагрузку равнодействующей

   Пока нагрузка размазана по длине, с ней неудобно работать в уравнениях равновесия. Заменяем её одной силой, равной площади эпюры нагрузки. Эта сила приложена в центре тяжести участка — для равномерной нагрузки это его середина.

   Важно: такая замена законна только для определения реакций. Для эпюр внутри балки нагрузку придётся снова считать распределённой.

   $$Q_{\text{равн}} = q \cdot l$$
   $$Q_{\text{равн}} = 10\ \text{кН/м} \cdot 2\ \text{м} = 20\ \text{кН}$$
   Равнодействующая

   20 кН

   Плечо от заделки

   1 м

   Равнодействующая 20 кН приложена на расстоянии 1 м от заделки — ровно в середине консоли.

2. 2

   Реакции в заделке

   Заделка не даёт балке ни сдвинуться, ни повернуться — значит, даёт две реакции: вертикальную силу и реактивный момент. Вертикальную находим из суммы проекций на ось y, момент — из суммы моментов относительно точки защемления.

   $$\sum Y = 0 \;\Rightarrow\; R_A = q\,l; \qquad \sum M_A = 0 \;\Rightarrow\; M_A = \frac{q\,l^{2}}{2}$$
   $$R_A = 10\ \text{кН/м} \cdot 2\ \text{м} = 20\ \text{кН}; \qquad M_A = \frac{10\ \text{кН/м} \cdot 2\ \text{м}^{2}}{2} = 20\ \text{кН·м}$$
   Вертикальная реакция

   20 кН

   Реактивный момент

   20 кН·м

   Заделка держит консоль силой 20 кН и моментом 20 кН·м. Проверка на здравый смысл: сила равна всему, что положили на балку, — так и должно быть, больше её держать нечему.

3. 3

   Поперечная сила Q(z)

   Поперечная сила в сечении — это сумма всех вертикальных сил по одну сторону от него. Мы режем балку и смотрим, что осталось слева: реакция заделки тянет вверх, а часть нагрузки, попавшая на отсечённый кусок, тянет вниз. Чем дальше сечение от заделки, тем больше нагрузки успело «съесть» реакцию.

   У свободного конца съедено всё: там сила обращается в ноль. Это и есть проверка — на незагруженном торце Q обязана быть нулевой.

   $$Q(z) = R_A - q\,z$$
   $$Q(0) = 20\ \text{кН}; \qquad Q(l) = 0\ \text{кН}$$
   Q в заделке

   20 кН

   Q на свободном конце

   0 кН

   Эпюра Q — наклонная прямая: 20 кН в заделке, 0 кН на свободном конце. Прямая, а не кривая, потому что нагрузка постоянна.

4. 4

   Изгибающий момент M(z)

   Считать момент удобнее со стороны свободного конца: там нет ни реакции, ни реактивного момента, и выражение выходит вдвое короче. Отступим от торца на расстояние x — на этот кусок давит нагрузка q·x, приложенная в его середине, то есть с плечом x/2.

   Перемножили — получили q·x²/2. Отсюда и квадрат в формуле, и парабола на эпюре: плечо растёт вместе с самой силой, поэтому момент набирает не линейно, а быстрее.

   $$M(x) = -\,\frac{q\,x^{2}}{2}$$
   $$M(0) = 0\ \text{кН·м}; \qquad M\!\left(\tfrac2\ \text{м}{2}\right) = -5\ \text{кН·м}; \qquad M(l) = -20\ \text{кН·м}$$
   M на свободном конце

   0 кН·м

   M посередине

   −5 кН·м

   M в заделке

   −20 кН·м

   Эпюра M — квадратная парабола: ноль на свободном конце, −5 кН·м посередине и −20 кН·м в заделке. Обратите внимание на середину: там четверть от максимума, а не половина — это и есть квадрат в работе.

5. 5

   Опасное сечение

   Максимальный по модулю изгибающий момент — в заделке. Именно это сечение проверяют на прочность и по нему подбирают профиль.

   Эпюра M у консоли целиком в отрицательной зоне: балка выгибается вниз, растянуты верхние волокна. Если в вашей схеме сверху идёт арматура или полка, работать будет именно она.

   Расчётный момент

   20 кН·м

   Расчётная поперечная сила

   20 кН

   Опасное сечение — заделка, z = 0 м. Расчётный момент 20 кН·м, перерезывающая сила 20 кН.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1 — правило знаков при изгибе.

• Прикладывают равнодействующую к концу консоли

  Самая частая ошибка и самая дорогая: момент в заделке получается вдвое больше настоящего. Равнодействующая 20 кН стоит в середине участка, на плече 1 м, а не на конце.

• Рисуют эпюру M выше оси

  У консоли, нагруженной сверху, момент отрицателен по всей длине — эпюра целиком под осью. Если она у вас ушла вверх, скорее всего потерян знак в выражении M(x).

• Забывают реактивный момент

  Заделка даёт три связи, а не одну. Оставите только вертикальную реакцию — схема окажется неуравновешенной, и сумма моментов не сойдётся: 20 кН·м просто некому будет держать.

• Ищут экстремум момента внутри пролёта

  Экстремум M там, где Q обращается в ноль. У этой консоли Q равна нулю только на свободном торце, где момента и так нет, — искать внутри нечего. Максимум всегда на краю, в заделке.

• Меряют x то от заделки, то от торца

  Начало отсчёта можно выбрать любое, но одно на весь расчёт. Смешаете две системы в одной задаче — и парабола сядет зеркально, с максимумом не в том конце.