Поперечная сила и изгибающий момент
Поперечная сила Q в сечении равна сумме поперечных сил, приложенных по одну сторону от него, — любую, какую удобнее. Изгибающий момент M равен сумме моментов тех же сил относительно центра сечения. Реакции опор входят в сумму наравне с нагрузками, поэтому их находят первыми.
Балка под нагрузкой работает вся целиком, но проверить её на прочность «целиком» нельзя: напряжения в разных сечениях разные. Нужен способ сказать, что происходит в одном конкретном месте, — и поперечная сила с изгибающим моментом как раз такой способ.
Обе величины получаются из одного приёма, метода сечений. Балку мысленно разрезают, одну часть отбрасывают, а её действие на оставшуюся заменяют усилиями в разрезе. Отброшенная часть сдвигает оставшуюся и поворачивает её — отсюда и две величины при изгибе.
Разрез и что в нём остаётся
Отсечённая часть балки должна остаться в равновесии — иначе балка сломалась бы именно здесь. Уравновешивает её то, что передаёт через разрез отброшенная часть. Для балки с поперечной нагрузкой это две величины: сила поперёк оси и пара сил в плоскости изгиба.
Первая и есть поперечная сила Q, вторая — изгибающий момент M. Продольная сила N тоже бывает, но при нагрузке строго поперёк оси она равна нулю, и в балочных задачах её обычно не пишут.
Отсюда рабочее определение, которое и нужно в задаче: Q и M — это то, что надо приложить в разрезе, чтобы отсечённая часть не двинулась и не повернулась.
Как найти Q в заданном сечении
Возьмите ту часть балки, где сил меньше, и сложите всё, что на неё действует поперёк оси: реакции, сосредоточенные силы и равнодействующую той распределённой нагрузки, что попала в эту часть. Ответ от выбора стороны не зависит — балка в равновесии, и суммы слева и справа отличаются только знаком записи.
В примере ниже слева от первой силы есть только реакция, и Q там равна 10 кН. Между силами из реакции вычитается направленная вниз 12 кН, и остаётся −2 кН. За второй силой считать удобнее справа: там одна реакция 8 кН, а сила вверх СПРАВА от сечения даёт минус — отсюда −8 кН.
Под самой сосредоточенной силой Q одним числом не определена: слева и справа от точки приложения значения разные, и эпюра там делает скачок ровно на величину силы. Поэтому сечение под силой всегда называют с уточнением — «слева от силы» или «справа».
Как найти M в заданном сечении
Момент считают относительно центра того сечения, где его ищут, — не относительно опоры и не относительно начала оси. Плечо каждой силы — расстояние от её линии действия до этого сечения, поэтому при переходе к другому сечению плечи пересчитываются.
Под первой силой в примере работает одна реакция 10 кН на плече 2 м, и момент равен 20 кН·м. Под второй силой к реакции добавляется первая сила со своим, уже меньшим плечом, и момент падает до 16 кН·м: сила, направленная вниз, уменьшает момент, который создала реакция.
Распределённую нагрузку заменяют равнодействующей, но только ту её часть, что лежит в отсечённом куске, — и прикладывают её в середине этого куска. Поэтому момент от равномерной нагрузки растёт как квадрат расстояния, а эпюра под ней выходит параболой.
Что эти величины делают с балкой
Изгибающий момент гнёт: растягивает волокна с одной стороны сечения и сжимает с другой. От него нормальные напряжения, и именно они решают прочность почти любой балки — поэтому опасное сечение ищут по наибольшему по модулю M.
Поперечная сила сдвигает соседние сечения друг относительно друга и даёт касательные напряжения. У длинных стальных балок они малы, но у коротких, у деревянных и у тонкостенных сечений проверка по ним бывает решающей.
На числах
Балка пролётом 6 м с силами 12 кН и 6 кН: две силы делят её на три участка, и на каждом своя поперечная сила. Реакции опор — 10 кН и 8 кН.
Где обычно ошибаются
Складывают силы с обеих сторон от сечения
Сумма ВСЕХ сил балки равна нулю — это условие равновесия, и такая «поперечная сила» выйдет нулевой в любом сечении. Берут одну сторону: либо всё левее разреза, либо всё правее.
Меряют плечо от опоры, а не от сечения
Плечо — это расстояние от силы до разреза, то есть разность координат сечения и силы, а не координата силы. Для реакции на левой опоре они совпадают, и ошибка прячется до первой силы в пролёте — дальше момент выходит завышенным.
Берут распределённую нагрузку целиком
В сумму для отсечённой части входит только та нагрузка, что на ней лежит. Если разрез прошёл посередине нагруженного участка, равнодействующая — половина полной, и приложена она посередине этой половины, а не в середине всего участка.
Считают Q под силой одним числом
Под сосредоточенной силой два значения: в примере под первой силой слева 10 кН, справа −2 кН. Одно число здесь означает, что вы потеряли скачок, — и дальше эпюра поедет не с того уровня.
Частые вопросы
Чем поперечная сила отличается от продольной?
Направлением. Продольная сила N действует вдоль оси стержня и растягивает или сжимает его, поперечная Q — поперёк оси и сдвигает соседние сечения. Находят обе одинаково — суммой сил одной стороны, только проекции берут на разные оси.
Эпюра продольных сил →Можно ли найти изгибающий момент, не находя реакций?
У консоли — да: идите от свободного конца, и заделка в сумму не попадёт вовсе. У балки на двух опорах по каждую сторону сечения в пролёте стоит опора, поэтому без реакций не обойтись.
Почему момент наибольший там, где поперечная сила равна нулю?
Потому что поперечная сила — это производная момента по длине балки. Где производная меняет знак, у функции экстремум. В примере Q меняет знак под первой силой — там и наибольший момент, 20 кН·м.
Зависимости между q, Q и M →Как определить поперечную силу и момент в своей балке?
Задайте опоры и нагрузки в калькуляторе: он найдёт реакции, посчитает Q и M по участкам и покажет каждое слагаемое суммы, так что ход решения можно переписать в тетрадь.
Расчёт балки онлайн →