Прогиб консольной балки

1. 1

   Отсчёт и заделка

   Начало отсчёта — заделка, ось z идёт от неё вправо к свободному концу. Прогиб v меряем вдоль оси y, направленной вверх, поэтому у консоли, гнущейся вниз, он выйдет отрицательным.

   Заделка даёт три реакции, но горизонтальных сил нет, так что остаются вертикальная реакция и реактивный момент. Оба находятся из равновесия сразу.

   $$R = F; \qquad M_{\text{зад}} = -F l$$
   $$R_A = 20\ \text{кН}; \qquad M_A = 40{,}0\ \text{кН·м}$$
   Реакция заделки

   20 кН

   Момент в заделке

   40,0 кН·м

   Реакция 20 кН вверх, реактивный момент 40,0 кН·м. Опасное сечение — сама заделка, там же и наибольший момент.

2. 2

   Граничные условия: чем консоль отличается

   Вот ключевая разница с двухопорной балкой. Там оба условия были про прогиб — по одному на каждую опору. Здесь оба условия сидят в одной точке: заделка не даёт сечению ни сместиться, ни повернуться.

   Поэтому обе постоянные интегрирования определяются в заделке и обращаются в ноль, а весь прогиб накапливается по мере удаления от неё. Максимум, разумеется, на свободном конце.

   $$v(0) = 0, \qquad \theta(0) = 0 \;\Rightarrow\; C_1 = C_2 = 0$$
   $$\theta(0) = 0{,}00000\ \text{рад}; \qquad v(0) = 0$$

   В заделке угол 0,00000 рад и прогиб нулевые — балка там зажата намертво.

3. 3

   Интегрируем: угол поворота конца

   Момент на консоли меняется линейно от нуля на свободном конце до 40,0 кН·м в заделке. Интеграл от линейной функции квадратичен, значит угол поворота растёт по параболе.

   Наибольший угол — на конце. Именно он, а не прогиб, определяет, заклинит ли дверь под козырьком или перекосит ли ограждение балкона.

   $$EJ\,\theta(z) = \int M\,dz; \qquad \theta_{\text{конца}} = -\frac{F l^{2}}{2\,EJ}$$
   $$\theta_{\text{конца}} = -\frac{20 \cdot 2^{2}}{2 \cdot 3799} = -0{,}01053\ \text{рад}$$
   Угол поворота конца

   −0,01053 рад

   Свободный конец повернулся на −0,01053 рад. Знак минус — поворот по часовой стрелке, конец опускается.

4. 4

   Прогиб свободного конца

   Второе интегрирование даёт прогиб — кубическую параболу от нуля в заделке до максимума на конце. Постоянные нулевые, так что выражение получается коротким.

   Сверим с табличной формулой Pl³/(3EJ): для этой схемы она есть в любом справочнике.

   $$v_{\text{конца}} = -\frac{F l^{3}}{3\,EJ}$$
   $$v_{\text{конца}} = -\frac{20 \cdot 2^{3}}{3 \cdot 3799} \cdot 10^{3} = -14{,}04\ \text{мм}$$
   Прогиб конца

   −14,04 мм

   По табличной формуле

   14,04 мм

   Прогиб конца −14,04 мм, справочная формула даёт тот же модуль 14,04 мм. Достигается при z = 2,00 м, то есть на самом торце.

5. 5

   Насколько консоль податливее балки

   Сравним с двухопорной балкой того же пролёта под той же силой посередине: у неё прогиб Pl³/(48EJ). Отношение коэффициентов 48 к 3 даёт ровно 16.

   Число стоит запомнить: оно объясняет, почему у консолей вылеты делают короткими, а сечения — непропорционально мощными.

   $$\frac{v_{\text{консоль}}}{v_{\text{балка}}} = \frac{F l^{3}/(3EJ)}{F l^{3}/(48EJ)} = 16$$
   $$14{,}04\ \text{мм} \;\text{против}\; 0{,}877\ \text{мм} \;\Rightarrow\; \text{в } 16 \text{ раз}$$
   Прогиб двухопорной

   0,877 мм

   Во сколько раз больше

   16

   14,04 мм у консоли против 0,877 мм у двухопорной балки — разница в 16 раз при одинаковых пролёте, силе и сечении.

6. 6

   Проверка жёсткости: не проходит

   Для консолей норму берут строже, чем для пролётов: свободный конец заметен глазом, и провисание бросается в глаза. Возьмём l/250.

   Результат отрицательный, и это честный ответ, а не сбой расчёта. Заодно и прочность не проходит: напряжение 216,9 МПа при типовом допускаемом 160 МПа. Профиль для такой нагрузки мал по обоим условиям.

   $$\left|v\right|_{max} \le [v] = \frac{l}{n}$$
   $$[v] = \frac{2}{250} \cdot 10^{3} = 8{,}0\ \text{мм}; \qquad 14{,}04\ \text{мм} > 8{,}0\ \text{мм}$$
   Допускаемый прогиб

   8,0 мм

   Запас по жёсткости

   −75,5 %

   14,04 мм против допускаемых 8,0 мм — перебор −75,5 %. Нужен профиль крупнее: момент инерции придётся увеличить почти вдвое.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.5.

• Прикладывают к консоли условия двухопорной балки

  Обнулять прогиб на обоих концах нельзя: свободный конец на то и свободный, он смещается на −14,04 мм. Оба условия — в заделке, и второе из них про угол, а не про прогиб.

• Забывают, что в заделке угол тоже нулевой

  Условия там два, а не одно: 0,00000 рад и нулевой прогиб. С одним условием постоянных не хватит, и задача не решится.

• Считают прогиб по формуле для двухопорной балки

  Знаменатель 48 вместо 3 занизит ответ в 16 раз: вместо 14,04 мм получилось бы 0,877 мм. Схема определяет формулу, и подставлять первую попавшуюся нельзя.

• Останавливаются на прочности и не проверяют прогиб

  У консоли обычно решает именно жёсткость. Здесь не прошли оба условия, но даже если бы напряжение уложилось в 160 МПа, прогиб 14,04 мм при норме 8,0 мм всё равно потребовал бы другого профиля.