Консольная балка с сосредоточенной силой на конце

1. 1

   Ставим ось и считаем, чем держит заделка

   Ось z ведём от заделки к свободному концу: z = 0 — сечение в защемлении, z = 3 м — торец с грузом. Другой координаты в разборе не появится, и на эпюрах внизу подписана именно эта.

   Заделка отнимает у балки три степени свободы, поэтому и реакций у неё три. Продольной силы нет — груз строго вертикальный, значит остаются вертикальная реакция и реактивный момент. Вертикальную даёт сумма проекций, момент — сумма моментов относительно точки защемления, где плечо у груза равно всей длине консоли.

   $$\sum Y = 0 \;\Rightarrow\; R_A = F; \qquad \sum M_A = 0 \;\Rightarrow\; M_A = F\,l$$
   $$R_A = 12\ \text{кН}; \qquad M_A = 12\ \text{кН} \cdot 3\ \text{м} = 36\ \text{кН·м}$$
   Вертикальная реакция

   12 кН

   Реактивный момент

   36 кН·м

   Заделка отвечает силой 12 кН и моментом 36 кН·м. Сила в точности равна грузу — держать его больше нечему, и это первая проверка на правдоподобие.

2. 2

   Поперечная сила Q(z)

   Между заделкой и грузом нет ни одной приложенной силы. Значит, какое сечение ни возьми, слева от него лежит одна и та же реакция — сумма не меняется, и Q по всей длине постоянна.

   Отсюда прямой вывод про форму эпюры: там, где нет распределённой нагрузки, эпюра Q горизонтальна. Скачок она сделает ровно один раз — на торце, где приложен груз, и после него уйдёт в ноль.

   $$Q(z) = R_A = \text{const}$$
   $$Q(0\ \text{м}) = Q(1{,}5\ \text{м}) = 12\ \text{кН}$$
   Q в любом сечении

   12 кН

   Эпюра Q — прямоугольник высотой 12 кН по всей консоли.

3. 3

   Изгибающий момент M(z)

   Считаем по правой части — там, кроме груза, ничего нет. Расстояние от сечения z до торца равно (l − z), это и есть плечо силы F. Произведение силы на плечо даёт момент, и поскольку плечо убывает линейно, эпюра выходит наклонной прямой, а не кривой.

   Сравните с распределённой нагрузкой: там вместе с плечом росла и сама равнодействующая, поэтому получалась парабола. Здесь сила постоянная — растёт только плечо, и степень остаётся первой.

   $$M(z) = -\,F\,(l - z)$$
   $$M(0\ \text{м}) = -36\ \text{кН·м}; \qquad M(1{,}5\ \text{м}) = -18\ \text{кН·м}; \qquad M(3\ \text{м}) = 0\ \text{кН·м}$$
   M в заделке

   −36 кН·м

   M посередине

   −18 кН·м

   M на конце

   0 кН·м

   Прямая от −36 кН·м в заделке до нуля на конце. Посередине ровно половина максимума — −18 кН·м; у параболы в том же месте была бы четверть, и это удобный способ на глаз отличить схемы друг от друга.

4. 4

   Опасное сечение и что с ним делать

   Максимум момента — в заделке, там же максимум поперечной силы. Совпадение не случайное: у консоли оба усилия растут к защемлению, поэтому проверять достаточно одно сечение.

   По этому моменту дальше подбирают сечение из условия прочности: требуемый момент сопротивления W = M/[σ]. Для стали С245 с [σ] = 240 МПа посчитайте сами — это одно деление, зато сразу видно, какой номер профиля искать в сортаменте.

   Расчётный момент

   36 кН·м

   Расчётная поперечная сила

   12 кН

   Опасное сечение — заделка, z = 0 м. Расчётный момент 36 кН·м, поперечная сила 12 кН.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1.

• Дают заделке только вертикальную реакцию

  Без реактивного момента консоль просто провернётся вокруг защемления: сумма моментов не сойдётся. У заделки три связи, и момент 36 кН·м — не «добавка», а полноправная реакция.

• Строят эпюру Q треугольником

  Треугольник у Q бывает под распределённой нагрузкой. Здесь груз один и сосредоточенный, поэтому Q постоянна и равна 12 кН везде, а на торце падает скачком до нуля.

• Считают момент в заделке как F·l/2

  Половина длины появляется, когда нагрузка распределена и её равнодействующая стоит в середине. Сосредоточенная сила приложена именно там, где нарисована, — плечо у неё полное, 3 м.

• Путают, у какой схемы момент растёт быстрее

  При равной равнодействующей груз на конце опаснее размазанной нагрузки ровно вдвое: у него плечо целиком, у распределённой — половина. Поэтому же посередине консоли здесь −18 кН·м, а у параболы было бы вчетверо меньше максимума.