Консольная балка с сосредоточенным моментом

1. 1

   Задаём ось и смотрим на равновесие

   Ось z, как всегда у консолей, начинаем в заделке и ведём к свободному концу: z = 0 — защемление, z = 2 м — торец, где висит момент. Эта координата будет единственной до конца разбора.

   Теперь равновесие. Вертикальных сил нет вообще — значит, и вертикальная реакция нулевая, заделке нечего уравновешивать по этой оси. А вот момент уравновесить надо: заделка отвечает реактивным моментом той же величины и противоположного знака.

   $$\sum Y = 0 \;\Rightarrow\; R_A = 0; \qquad \sum M_A = 0 \;\Rightarrow\; M_A = -\,M$$
   $$R_A = 0; \qquad M_A = -15\ \text{кН·м}$$
   Реактивный момент заделки

   −15 кН·м

   Единственная реакция — момент −15 кН·м. Вертикальной силы в заделке нет, и это не ошибка расчёта, а следствие того, что балку никто никуда не тянет.

2. 2

   Поперечная сила: честный ноль

   Q — это сумма вертикальных сил по одну сторону от сечения. Слева от любого сечения лежит только заделка с нулевой вертикальной реакцией, справа — только внешний момент, который силой не является. Складывать нечего.

   Нулевая эпюра Q — нормальный результат, а не признак того, что задача не решена. Просто балка не срезается: она только изгибается.

   $$Q(z) = 0$$
   $$Q(0\ \text{м}) = Q(1\ \text{м}) = 0\ \text{кН}$$
   Q в любом сечении

   0 кН

   Эпюра Q совпадает с нулевой линией по всей длине консоли.

3. 3

   Изгибающий момент: полоса постоянной высоты

   Отрежем балку в произвольной точке z и посмотрим направо: там висит момент M, и никаких сил. Момент пары не зависит от того, относительно какой точки его считать, — плеча у него попросту нет. Поэтому в каком бы месте мы ни резали, внутренний момент выходит одинаковым.

   Это и называется чистым изгибом: момент постоянен, поперечная сила равна нулю. Такой участок специально выделяют в лабораторных работах — там формула σ = M/W работает без поправок на сдвиг.

   $$M(z) = M = \text{const}$$
   $$M(0\ \text{м}) = M(1\ \text{м}) = 15\ \text{кН·м}$$
   M в заделке

   15 кН·м

   M посередине

   15 кН·м

   Эпюра M — прямоугольник высотой 15 кН·м. Опасно не какое-то одно сечение, а сразу все: подбирать профиль можно по любому.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.2 (чистый изгиб).

• Ищут вертикальную реакцию, которой нет

  Пара сил не даёт равнодействующей — уравновешивать по вертикали нечего, R_A = 0. Если у вас в этой схеме вертикальная реакция получилась ненулевой, значит момент случайно посчитали как силу на плече.

• Считают, что раз Q = 0, то и M = 0

  Поперечная сила и момент — разные величины, а не две записи одной. Здесь ровно тот случай, когда одна нулевая, а вторая нет: 15 кН·м по всей длине.

• Рисуют момент треугольником от заделки

  Треугольник получается, когда есть плечо, которое меняется по длине. У пары сил плеча нет, поэтому её момент одинаков в любом сечении, и эпюра — ровная полоса.

• Теряют знак реактивного момента

  Реакция заделки противоположна внешнему моменту: −15 кН·м против 15 кН·м. В сумме они дают ноль — это и есть уравнение равновесия. Одинаковые знаки означали бы, что балка раскручивается сама.